核心结论：做手术请假，私人公司一般不能随意开除你，但具体是否会被开除，需结合请假流程是否合规、公司规章制度是否合法以及是否存在法定开除情形等因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、从请假流程与规章制度角度
- 若请假流程合规且公司规章制度合法
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，公司不得随意解除劳动合同。
- 如果你按照公司规定的请假流程，提交了相关的医疗证明（如诊断书、手术建议等），申请了病假，且公司的规章制度中对于病假有明确的规定，且这些规定不违反法律法规的强制性规定，那么公司应当批准你的病假申请，并在医疗期内保障你的工作权益，不能随意开除你。
- 举例：小张在公司工作了5年，因生病需要做手术，他按照公司规定向部门主管提交了医院的诊断书和手术建议，申请了2个月的病假。公司审核后批准了他的申请，并在医疗期内按照规定支付了他病假工资。这种情况下，公司不能开除小张。
- 若请假流程不合规或公司规章制度违法
- 如果你没有按照公司规定的请假流程申请病假，或者公司规章制度中对于病假的规定违反了法律法规的强制性规定（如规定医疗期内不支付任何工资等），那么公司可能会以你违反规章制度为由，考虑解除劳动合同。但即便如此，公司也需要遵循法定的解除程序，不能随意开除。
- 举例：小李在公司工作了2年，因需要做手术想请假，但他没有按照公司规定提交医疗证明，也没有经过相关领导的审批，就擅自离岗。公司规章制度中规定，未经批准擅自离岗属于严重违反规章制度，可以解除劳动合同。但即便如此，公司在解除劳动合同前，也需要与小李进行沟通，告知其违规事实和解除劳动合同的后果，并听取小李的申辩。如果公司没有履行这些程序，就随意开除小李，可能构成违法解除。
二、从法定开除情形角度
- 不存在法定开除情形
- 根据《劳动合同法》的规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。如果你不存在这些法定开除情形，且在医疗期内，公司不得开除你。
- 存在法定开除情形
- 如果你存在上述法定开除情形之一，且公司能够提供充分的证据证明，那么公司有权解除劳动合同。但需要注意的是，即使存在这些情形，公司也需要遵循法定的解除程序，如提前通知、支付经济补偿等（具体根据情形而定）。
- 举例：小王在公司工作期间，因个人原因与其他公司建立了劳动关系，且对完成本单位的工作任务造成了严重影响。公司多次与小王沟通，要求其改正，但小王拒不改正。在这种情况下，公司有权解除与小王的劳动合同，且不需要支付经济补偿。但如果小王是在医疗期内，且不存在其他法定开除情形，公司就不能以他与其他公司建立劳动关系为由开除他（除非该劳动关系严重影响了本单位工作且拒不改正，但这种情况较为复杂，需具体分析）。
三、法律建议
- 保留证据：在请假和就医过程中，务必保留好相关的医疗证明、请假申请、沟通记录等证据，以备不时之需。
- 了解公司规章制度：熟悉公司的规章制度，特别是关于病假、解除劳动合同等方面的规定，确保自己的行为符合公司要求。
- 及时沟通：如果与公司就请假或解除劳动合同等问题产生争议，及时与公司进行沟通，寻求解决方案。
- 寻求法律帮助：如果公司违法解除劳动合同，你可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
总结：做手术请假，私人公司一般不能随意开除你。但具体是否会被开除，需结合请假流程是否合规、公司规章制度是否合法以及是否存在法定开除情形等因素综合判断。如果你遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供详细的法律建议。