结论：老厂未离职而在新厂第一天就签合同的情况下，您仍然有权辞职，但具体操作和可能产生的法律后果需根据实际情况来判断。

分析说明：

1. 辞职权利：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者享有辞职的权利。无论您是否已经在新厂签订了劳动合同，只要您还在老厂工作且未办理离职手续，您都有权根据法律规定或劳动合同的约定提出辞职。

2. 老厂离职手续：

   • 在您决定辞职后，应尽快与老厂办理离职手续，包括工作交接、工资结算、社保转移等。这是您的法定义务，也是确保您顺利离职并避免后续纠纷的重要步骤。
   • 如果未办理离职手续而直接在新厂工作，可能会给老厂造成损失，老厂有权要求您承担赔偿责任。同时，这也可能影响您在新厂的入职和社保缴纳等事宜。

3. 新厂合同问题：

   • 您在新厂第一天就签订了劳动合同，这并不影响您在老厂的辞职权利。但是，您需要仔细审查新厂的劳动合同条款，特别是关于试用期、离职通知期、违约金等条款，以确保您的权益不受侵害。
   • 如果您在未与老厂解除劳动合同的情况下就与新厂签订了劳动合同，这可能构成双重劳动关系。虽然法律并未明确禁止双重劳动关系，但在实际操作中可能会引发一些纠纷和风险，如社保缴纳、工伤认定等。

4. 可能产生的法律后果：

   • 如果您未与老厂办理离职手续而直接在新厂工作，老厂可能会以您违反劳动合同或公司规章制度为由，要求您承担违约责任或赔偿责任。
   • 如果新厂发现您与老厂仍存在劳动关系，可能会影响您在新厂的入职和职业发展。新厂可能会要求您先与老厂解除劳动关系后再入职，或者以您存在欺诈行为为由解除与您的劳动合同。

行动建议：

1. 尽快与老厂办理离职手续：确保与老厂的工作交接、工资结算、社保转移等事宜得到妥善处理，以避免后续纠纷。
2. 仔细审查新厂劳动合同：了解新厂的劳动合同条款，特别是关于试用期、离职通知期、违约金等条款，确保自己的权益不受侵害。
3. 咨询专业律师：如果您在辞职或签订新厂劳动合同时遇到任何疑问或纠纷，建议及时咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。

特殊场景提醒：

• 如果您与老厂签订的劳动合同中有关于竞业限制或保密协议的条款，您在辞职后仍需遵守这些条款，否则可能会面临法律责任。
• 如果您在新厂的工作与老厂存在竞争关系，且您未与老厂解除竞业限制协议，老厂可能会以您违反竞业限制协议为由要求您承担赔偿责任。

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