结论：工厂主管开除员工且不提供劳动合同的行为，可能涉及违法解除劳动关系和未依法提供劳动合同的双重问题。员工可以依法维权，要求工厂承担相应的法律责任。
一、关于违法解除劳动关系
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当遵循法定程序和条件，不得违法解除。若工厂主管无正当理由开除员工，即构成违法解除劳动关系。
法律后果：
- 员工有权要求工厂继续履行劳动合同，或者要求工厂支付违法解除劳动关系的赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金则根据员工在工厂的工作年限和工资水平来确定。
维权建议：
- 员工应收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明与工厂存在劳动关系及被违法解除的事实。
- 员工可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求工厂承担违法解除劳动关系的法律责任。
二、关于未依法提供劳动合同
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位与劳动者建立劳动关系后，应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若工厂未与员工签订书面劳动合同，即构成违法行为。
法律后果：
- 工厂可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款等。
- 员工有权要求工厂支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额，作为对工厂违法行为的惩罚。
维权建议：
- 员工应收集能够证明与工厂存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、同事证言等。
- 员工可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求工厂支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额。
三、综合维权建议
收集证据：
- 员工应尽可能收集与工厂存在劳动关系及被违法解除、未签订书面劳动合同的相关证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
咨询律师：
- 在维权过程中，员工可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权策略，以便更好地维护自己的合法权益。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 若与工厂协商无果，员工可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求工厂承担相应的法律责任。若对劳动仲裁结果不满，员工还可以向法院提起诉讼。
四、注意事项
- 在维权过程中，员工应保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击，以免影响自己的维权效果。
- 员工应密切关注劳动仲裁或诉讼的进展情况，及时配合律师或仲裁机构的工作，确保自己的权益得到充分保障。
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