结论：工厂是否需要负责，取决于多个因素，包括工人的劳动关系、是否构成工伤以及工厂是否存在过错等。以下从不同角度进行分析：
一、劳动关系与工伤认定
劳动关系确认：
- 首先，需要确认60多岁的工人与工厂之间是否存在劳动关系。如果工人已经达到法定退休年龄（通常为60岁，但具体可能因地区和政策而异），并且已经享受养老保险待遇或领取退休金，那么他与工厂之间可能不再构成劳动关系，而是劳务关系。
- 如果工人虽然达到退休年龄，但并未享受养老保险待遇或领取退休金，且继续为工厂工作，那么根据相关规定，他仍可能与工厂构成劳动关系。
工伤认定：
- 如果工人与工厂构成劳动关系，并且是在上班途中因非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害导致死亡，那么根据《工伤保险条例》的规定，这通常会被认定为工伤。
- 但如果是因个人原因（如自身疾病、疏忽大意等）导致摔倒死亡，且不属于上述交通事故等情形，则可能不被认定为工伤。
二、工厂责任分析
构成工伤的情况：
- 如果工人的死亡被认定为工伤，那么工厂作为用人单位，需要承担工伤保险责任。这包括支付丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
- 工厂如果未依法为工人缴纳工伤保险费，那么这些费用将全部由工厂承担。
不构成工伤的情况：
- 如果工人的死亡不被认定为工伤，那么工厂的责任将取决于其是否存在过错。例如，如果工厂安排的工作任务过重，导致工人过度劳累，且这种过度劳累与工人的死亡之间存在因果关系，那么工厂可能需要承担一定的民事赔偿责任。
- 但如果工厂能够证明其已经尽到了合理的安全保障义务，且工人的死亡与其工作无关，那么工厂可能不需要承担责任。
三、建议与措施
及时申请工伤认定：
- 如果工人家属认为工人的死亡可能构成工伤，建议及时向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
收集证据：
- 在申请工伤认定或提起民事诉讼前，建议收集相关证据，如工作记录、医疗记录、证人证言等，以证明工人的死亡与工作之间的关系以及工厂可能存在的过错。
咨询专业律师：
- 由于工伤认定和赔偿问题涉及复杂的法律程序和规定，建议工人家属在处理此类问题时咨询专业律师（即向我咨询），以获取更具体的法律建议和帮助。
总结：工厂是否需要为60多岁工人在上班路上摔死负责，取决于多个因素。如果构成工伤，工厂需要承担工伤保险责任；如果不构成工伤，则取决于工厂是否存在过错。建议工人家属及时申请工伤认定、收集证据并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。