结论概述：

1. 若您的情况符合工伤认定条件，且公司未依法为您申报工伤，您有权自行申报并要求公司承担相应责任，包括工伤赔偿。
2. 若不符合工伤认定条件，但公司存在过错导致您受伤，您可依据侵权责任法要求公司赔偿。
3. 若既不符合工伤认定条件，公司也无过错，则您可能难以直接获得公司补偿，但可与公司协商处理。

详细分析：

一、工伤认定与赔偿

首先，我们需要明确的是，根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。您上班第二天手指受伤，如果是在工作时间、工作场所内，且因工作原因导致，那么理论上您的情况是符合工伤认定条件的。

1. 工伤认定流程：

   • 您或您的近亲属、工会组织在事故伤害发生之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 社会保险行政部门应当自受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定，并书面通知申请工伤认定的职工或者其近亲属和该职工所在单位。

2. 工伤赔偿：

   • 一旦被认定为工伤，您将有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、护理费、一次性伤残补助金等。
   • 如果公司未依法为您缴纳工伤保险费，那么这些费用将由公司承担。

二、非工伤情况下的赔偿

如果您的情况不符合工伤认定条件，但公司存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等）导致您受伤，那么您可以依据《中华人民共和国民法典》中的侵权责任法部分，要求公司承担侵权责任，包括赔偿医疗费、误工费等。

三、既非工伤公司也无过错的情况

如果既不符合工伤认定条件，公司也无过错，那么您可能难以直接获得公司的补偿。但这种情况下，您仍然可以与公司进行协商，看是否能够达成一定的补偿协议。毕竟，从人情和道义的角度出发，公司可能会考虑给予您一定的帮助。

建议与行动：

1. 尽快收集证据：包括事故现场的照片、视频、证人证言等，以证明您是在工作时间、工作场所内因工作原因受伤。
2. 与公司沟通：先尝试与公司沟通，看公司是否愿意为您申报工伤或给予一定的补偿。
3. 咨询专业律师：如果公司拒绝或无法达成一致，建议您咨询专业律师，了解具体的法律途径和维权策略。

后续思考：

在处理此类问题时，除了关注法律层面的赔偿外，还可以考虑与公司建立更好的沟通机制，以避免类似事件的再次发生。同时，也可以关注自身的职业健康和安全，提高自我保护意识。如果您有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。