结论：连续签订5次固定期限合同后被辞退，员工能否获得补偿或赔偿，以及能获得多少，主要取决于辞退的原因和合同的具体内容。以下从不同角度进行分析：
一、辞退原因与补偿/赔偿
合法辞退：
- 如果员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等情形，公司有权合法辞退员工，且无需支付经济补偿。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。
违法辞退：
- 如果公司无正当理由辞退员工，或者辞退理由不符合法律规定，则构成违法辞退。
- 赔偿标准：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿标准：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。本条所称月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
二、连续签订5次固定期限合同的影响
- 合同到期终止：如果每次合同到期后都正常续签，且没有出现上述合法辞退的情形，那么合同到期终止时，公司通常需要支付经济补偿（除非员工主动提出不续签或存在其他法定无需支付经济补偿的情形）。
- 视为无固定期限合同：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。但此处需注意，该条款并未直接规定连续签订5次就必然视为无固定期限合同，而是强调了连续订立二次后，在特定条件下应订立无固定期限合同。然而，在实际操作中，如果连续签订多次固定期限合同，且员工没有过错，公司单方面终止合同可能面临更大的法律风险，被认定为违法辞退的可能性增加。
三、建议与行动
- 收集证据：员工应收集与劳动合同、辞退通知、工资单等相关的证据，以证明自己的权益。
- 协商与调解：尝试与公司进行协商或寻求劳动调解机构的帮助，以达成和解。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
总结：连续签订5次固定期限合同后被辞退，员工能否获得补偿或赔偿取决于辞退的原因。如果是违法辞退，员工有权要求公司支付赔偿金；如果是合法辞退或合同到期终止且符合法定条件，则可能只需支付经济补偿或无需支付。在处理此类纠纷时，建议员工及时收集证据并寻求专业法律帮助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。