结论概述：针对您在私企工作10年未签劳动合同且生重大疾病的情况，主要涉及未签劳动合同的法律后果以及生病期间的权益保障问题。以下我将从这两个方面为您详细分析。
一、未签劳动合同的法律后果
双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 在您的情况下，由于已经工作10年，理论上，您有权要求用人单位支付从第二个月起至第十二个月止的双倍工资差额（但需注意，实际操作中可能因时效问题而有所限制，具体需结合当地司法实践）。不过，由于您已经工作多年，这部分双倍工资的请求可能因超过诉讼时效而难以得到支持，但仍可尝试主张。
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 根据《劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
- 这意味着，尽管您未签订书面劳动合同，但法律上已视为您与用人单位建立了无固定期限的劳动关系。
二、生病期间的权益保障
医疗期：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。
- 在您的情况下，由于已经在该私企工作10年，您应享有至少十二个月的医疗期（具体医疗期长度可能因地区和具体病情而有所差异）。
医疗期内的待遇：
- 在医疗期内，用人单位应按照不低于当地最低工资标准的80%支付病假工资或疾病救济费。
- 同时，用人单位不得在医疗期内解除劳动合同或降低工资待遇。
医疗期满后的处理：
- 如果医疗期满后，您仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。
- 但用人单位需按照您在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿。
三、综合建议
收集证据：
- 建议您尽快收集能够证明您与用人单位存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
与用人单位协商：
- 在收集到足够证据后，您可以尝试与用人单位协商，要求其支付未签劳动合同的双倍工资差额（如可能）、补缴社会保险、支付医疗期内的病假工资等。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
咨询专业律师：
- 由于劳动纠纷涉及的法律条款较多且复杂，建议您在处理过程中咨询专业律师（即我本人，陈建平律师），以便更好地维护自己的权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。