结论：在公司工作十年未签订劳动合同且在生病期间遭辞退，您有权要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资（受时效限制）、经济补偿金以及违法解除劳动合同的赔偿金，同时还可以主张补缴社保和未休年假工资等权益。

一、未签订劳动合同的双倍工资

• 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
• 赔偿计算与时效：尽管法律规定了双倍工资的处罚，但由于您已工作十年，直接适用此条可能面临时效性问题。大部分地区可能仅支持自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日期间的双倍工资，即最多11个月的双倍工资。具体数额需根据劳动仲裁机构或法院的裁决确定。

二、经济补偿金与违法解除劳动合同的赔偿金

• 经济补偿金：

  • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
  • 赔偿计算：您在公司工作了十年，因此应支付十个月工资的经济补偿。这里的月工资是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

• 违法解除劳动合同的赔偿金：

  • 法律依据：如果用人单位没有正当合法理由单方辞退劳动者，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者可以要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
  • 赔偿计算：在您已经工作十年的情况下，经济补偿为十个月工资，那么违法辞退的赔偿金应为二十个月工资。
  • 确定是否属于违法解除：公司若没有法定理由辞退您，如严重违反公司规章制度、不能胜任工作等情形，则属于违法解除。若公司主张合法辞退，需承担举证责任。特别是在您生病期间，除非您存在《劳动合同法》第四十条规定的情形（如医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作），否则公司辞退您很可能构成违法解除。

三、其他可能的权益

• 补缴社保：公司未依法为您缴纳社会保险的，您可以要求公司补缴在职期间的社保费用。
• 未休年假工资：如果存在应休未休年假的情况，您可以主张相应的未休年假工资报酬，一般按照日工资收入的300%支付（包含用人单位支付职工正常工作期间的工资收入）。

四、维权建议

• 收集证据：您应收集能证明劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作聊天记录、医疗证明等，以证明自己的工作年限、工资标准、劳动关系存在的事实以及生病期间的情况。
• 协商与仲裁：您可以先与公司协商解决赔偿事宜。如果协商不成，应及时向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

示例计算： 假设您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资为8000元，那么：

• 经济补偿金为：\(10个月 \times 8000元/月 = 80000元\)；
• 若公司违法解除劳动合同，赔偿金为：\(80000元 \times 2 = 160000元\)。

综上所述，您在公司工作十年未签订劳动合同且在生病期间遭辞退后，应依法维护自己的权益，要求用人单位支付相应的经济补偿、赔偿金以及其他合法权益。在维权过程中，请确保诉求合理合法，并充分准备相关证据以支持自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。