结论：工伤期间得脑梗，公司是否应该赔偿，这主要取决于脑梗是否与工作有关以及是否符合工伤认定的条件。以下分情况详细说明：
一、可能认定为工伤的情况及赔偿
工伤认定条件：
- 根据《工伤保险条例》第十五条，若员工在工作时间和工作岗位突发脑梗，并在48小时之内经抢救无效死亡，这种情况将被视同工伤。
- 另外，如果脑梗是由于工作原因导致的，比如过度劳累、工作环境恶劣等因素引发，且能证明与工作存在直接因果关系，那么也可能被认定为工伤。
赔偿责任：
- 医疗费用：由工伤保险基金支付治疗脑梗的相关医疗费用，包括挂号费、诊疗费、药费、住院费等。若公司未依法缴纳工伤保险费，则由公司支付。
- 停工留薪期工资：员工因工作遭受事故伤害或患职业病需暂停工作接受医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由公司按月支付，一般不超过12个月，特殊情况可延长至24个月。
- 护理费：生活不能自理的工伤员工在停工留薪期需要护理的，由公司负责。若已评定伤残等级并确认需要生活护理，从工伤保险基金按月支付生活护理费。
- 伤残津贴：若脑梗导致残疾，根据残疾等级，由工伤保险基金按月支付伤残津贴。
- 一次性伤残补助金：根据伤残等级，由工伤保险基金一次性支付相应的伤残补助金。
- 丧葬补助金与一次性工亡补助金：若员工在工作时间和工作岗位突发脑梗死亡，或在48小时内抢救无效死亡，其近亲属可从工伤保险基金领取丧葬补助金（6个月统筹地区上年度职工月平均工资）和一次性工亡补助金（上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍）。
二、未认定为工伤的情况及处理
非工伤认定条件：
- 若脑梗并非在工作时间和工作岗位上突发，或者虽在工作时间和工作岗位上突发但未在48小时内抢救无效死亡，且脑梗的发生与工作无关，那么这种情况通常不会被认定为工伤。
处理方式：
- 医疗期待遇：员工有权享受法定的医疗期，该期限根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，范围从三个月到二十四个月不等。在医疗期内，公司应支付不低于当地最低工资标准80%的病假工资。
- 公司过错责任：如果员工的脑梗与公司的过错有关，如劳动强度过大、工作环境恶劣等，且这些过错与脑梗的突发存在因果关系，员工可通过法律途径要求公司承担赔偿责任。但在此情况下，员工需承担举证责任，证明公司的过错以及过错与损害结果之间的因果关系。
- 其他保险考量：即便不能认定为工伤，员工也可检查公司是否为其购买了其他保险（如团体意外险），并根据保险合同条款寻求可能的赔偿。
三、建议与总结
- 及时申请工伤认定：若员工认为自己的脑梗与工作有关，应及时向公司提出工伤认定申请，并按照规定的程序提交相关材料。
- 保留证据：员工应保留好与脑梗发病相关的医疗记录、工作记录等证据，以备在需要时证明自己的权益。
- 咨询专业意见：在处理此类复杂问题时，建议员工及时向我咨询，以便更准确地了解自己的权益和可能的赔偿途径。
总结：工伤期间得脑梗，公司是否应该赔偿，需根据具体情况判断。若符合工伤认定条件，公司应按工伤保险规定赔偿；若不符合，则需考虑医疗期待遇及公司是否存在过错。在任何情况下，员工都应积极维护自己的合法权益，并及时咨询专业法律意见。