结论：公司未向员工出具解除通知书，但向仲裁委提交证据证明员工违反规章制度，这一行为本身并不直接决定其合法性，关键在于公司能否提供充分证据证明员工确实存在违反规章制度的行为，并且该规章制度是合法有效的。
详细分析：
解除劳动合同的合法性基础：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法依据，并且需要遵循法定程序。其中，合法依据通常包括员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形。
- 在本案中，公司主张员工违反规章制度，这是解除劳动合同的一个可能合法依据。但关键在于，公司能否提供充分证据证明这一点。
证据的充分性与合法性：
- 公司向仲裁委提交的证据必须能够充分证明员工确实存在违反规章制度的行为。这包括但不限于监控录像、书面记录、员工自认等。
- 同时，这些证据必须是合法取得的，不能侵犯员工的合法权益，如隐私权等。如果证据是通过非法手段获取的，那么这些证据可能不会被仲裁委采纳。
规章制度的合法性与公示：
- 除了证据问题外，公司还需要证明其规章制度是合法有效的。这包括规章制度的制定程序是否合法、内容是否合法以及是否已经向员工公示或告知。
- 如果规章制度本身存在违法之处，或者未向员工公示或告知，那么公司依据该规章制度解除劳动合同的行为可能是违法的。
未出具解除通知书的法律后果：
- 虽然公司未向员工出具解除通知书并不直接决定其解除行为的合法性，但这一行为可能违反了法定程序。根据《劳动合同法》的规定，用人单位解除劳动合同应当书面通知劳动者。
- 如果公司未履行这一程序，员工有权要求公司出具解除通知书，并可能因此主张公司违法解除劳动合同，要求支付赔偿金等。
建议：
- 对于公司而言，如果确实需要解除与员工的劳动合同，应当确保有合法依据，并且遵循法定程序。这包括制定合法有效的规章制度、充分收集证据证明员工违反规章制度、书面通知员工解除劳动合同等。
- 对于员工而言，如果公司未出具解除通知书或解除行为存在违法之处，可以及时向劳动仲裁委申请仲裁，维护自己的合法权益。在仲裁过程中，员工应当积极提供证据证明公司的解除行为违法，并要求公司承担相应的法律责任。
后续行动：
- 如果您是公司方，建议立即审查自己的解除行为是否合法合规，并尽快补正相关程序，如出具解除通知书等。
- 如果您是员工方，且认为公司的解除行为违法，建议及时收集证据并向劳动仲裁委申请仲裁。在仲裁过程中，可以寻求专业律师的帮助以提高胜诉率。
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