结论：在您上班五天受伤且未签劳动合同，单位事后急着要签的情况下，不建议立即签订劳动合同。您应先确保自身伤情得到妥善处理，并收集能证明事实劳动关系的证据，再依法申请工伤认定和主张赔偿。以下是对此问题的详细分析：
一、为何不建议立即签订劳动合同
- 防止单位利用合同规避责任：单位在您受伤后急着签订劳动合同，可能是出于规避工伤赔偿责任的考虑。一旦签订，单位可能会以合同中有不利于您的条款为由，拒绝承担应有的赔偿责任。
- 确保自身权益不受损：在未明确伤情和赔偿事宜前，签订劳动合同可能会使您在后续维权中处于被动地位。例如，合同中可能规定了较低的工资标准或限制了您的赔偿权利。
二、应如何应对
收集证据证明事实劳动关系：
- 尽管未签订书面劳动合同，但您可以通过收集工资支付记录（如银行流水、微信或支付宝转账记录）、身份证明证件（如工牌、服务证）、招工招聘材料（如“登记表”“报名表”）、考勤记录（如打卡记录、考勤表）以及同事证言等证据，来证明您与单位之间存在事实劳动关系。
申请工伤认定：
- 在确认劳动关系后，您应尽快向用人单位所在地统筹地区的社会保险行政部门申请工伤认定。申请时需填写完整的工伤认定申请表，并提供与用人单位存在劳动关系的证明材料以及医疗机构出具的受伤后诊断证明书。
- 申请时间：用人单位应在事故伤害发生之日起30日内提出申请；若用人单位未按时申请，您或其近亲属、工会组织可在事故发生之日起1年内直接提出申请。
进行劳动能力鉴定：
- 经治疗伤情相对稳定后，若存在残疾或影响劳动能力，您应向设区的市级劳动能力鉴定委员会申请劳动能力鉴定。鉴定结果将作为主张工伤赔偿的重要依据。
主张工伤赔偿：
- 根据工伤认定和劳动能力鉴定的结果，您可向用人单位主张相应的赔偿，包括医疗费、停工留薪期工资、伙食补助费、护理费、一次性伤残补助金以及一次性就业补助金和一次性医疗补助金等。
- 赔偿标准：具体赔偿标准根据伤残等级和当地相关规定确定。例如，一次性伤残补助金通常根据伤残等级确定的本人工资的一定倍数支付。
维权途径：
- 若与用人单位就工伤赔偿问题无法协商一致，您可通过劳动争议调解、劳动仲裁或诉讼等途径解决。建议保留好所有与工伤相关的证据材料，并咨询专业律师（即我）的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
三、特殊情况下的处理
- 若单位拒绝承认劳动关系：您可向劳动争议仲裁机构或人民法院申请确认劳动关系。在此过程中，您提供的证据将起到关键作用。
- 若单位未缴纳工伤保险：根据法律规定，若用人单位未为您缴纳工伤保险，上述赔偿费用将由用人单位承担。这意味着您无需担心因未缴纳工伤保险而无法获得赔偿的问题。
在整个过程中，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。