当合同到期后您仍在继续工作，这通常意味着双方形成了事实劳动关系或者原合同在某种条件下被视为延续。为了确保您的权益得到充分保障，同时也帮助用人单位规避法律风险，以下是一些详细且深入的处理建议：
对您（劳动者）而言：
明确续签意向：
- 首先，您应明确自己是否希望继续在该单位工作，并考虑续签合同的具体条款，如合同期限、薪资、岗位等。
要求续签书面合同：
- 若您希望继续工作，应主动向用人单位提出续签书面劳动合同的要求。书面合同是明确双方权利义务的重要依据，有助于避免后续纠纷。
- 在提出续签要求时，建议以书面形式（如邮件、信函）进行，并保留好相关证据，以备不时之需。
了解双倍工资权益：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，若用人单位自劳动合同期满后超过一个月不满一年未与您续订书面劳动合同，您有权要求用人单位支付双倍工资。
- 双倍工资的计算期从期满后的第二个月起开始，最多支付11个月。
考虑离职补偿：
- 若用人单位拒绝续签劳动合同（除非用人单位维持或提高劳动条件而您不同意续签），根据《劳动合同法》第四十六条第五项，您有权获得经济补偿。
- 经济补偿的标准按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
保存劳动关系证据：
- 在工作期间，妥善保存能证明您与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、考勤记录、工资条、工作邮件等。
- 这些证据在后续主张权益时将起到关键作用。
沟通协商与申请仲裁：
- 若与用人单位在续签合同或离职补偿等方面存在分歧，首先尝试友好沟通协商。
- 若协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。申请时需提交仲裁申请书及相关证据材料。
对用人单位而言：
及时评估与通知：
- 在劳动合同到期前，用人单位应对您的工作表现、岗位需求等进行综合评估，确定是否续签合同。
- 若决定续签，应在合同期满前及时以书面形式通知您，并明确续签合同的具体条款。
- 若决定不续签，也应在合同期满前明确通知您，并办理相关离职手续。
协商合同内容：
- 若原合同的主要条款有较大改变，双方应重新协商签订新的劳动合同。
- 若变动不大，可以签订《延续劳动合同协议书》，并明确延续的期限及其他需重新确定的合同条款。
支付双倍工资与经济补偿的风险：
- 若用人单位超过一个月未与您续签书面劳动合同，将面临支付双倍工资的法律风险。
- 在特定情形下终止固定期限劳动合同，用人单位还需按照法律规定向您支付经济补偿。
办理相关手续：
- 续订劳动合同后，用人单位应将双方重新签订的劳动合同或《延续劳动合同协议书》送有管辖权的劳动鉴证机构进行鉴证。
- 同时，到社会保险经办机构办理社会保险延续手续。
- 若终止合同，则需为您办理离职手续，包括出具离职证明、办理社保减员等。
综上所述，当合同到期后您仍在继续工作时，双方应尽快明确续签意向并办理相关手续。通过及时沟通、审查原合同条款、协商续签或变更合同，并严格遵循法律法规，可以确保双方的权益得到充分保护。若出现纠纷或无法达成一致意见时，可依据相关法律法规进行维权和处理。