结论：事业单位在员工已签订无固定期限劳动合同的情况下，要求员工转签第三方合同，否则不提升工资待遇，这一做法通常是不合法的。员工有权拒绝转签，并可以要求事业单位按照原合同约定提升工资待遇。
法律分析：
劳动合同的稳定性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同是用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。这种合同类型旨在保护劳动者的就业稳定性，防止用人单位随意解除劳动合同。
- 事业单位在员工已签订无固定期限劳动合同后，单方面要求员工转签第三方合同，实际上是在试图变更原劳动合同的主体，这通常需要双方协商一致，并签订书面变更协议。
工资待遇的提升：
- 工资待遇的提升通常与劳动合同的履行、员工的工作表现、用人单位的经营状况以及市场薪资水平等多种因素有关。
- 事业单位以员工不转签第三方合同为由，拒绝提升工资待遇，这种做法缺乏法律依据。工资待遇的提升应当基于员工的工作表现和用人单位的薪酬制度，而不是作为转签合同的交换条件。
员工的权利：
- 员工有权拒绝事业单位提出的转签第三方合同的要求，并可以要求事业单位按照原合同约定履行义务，包括提升工资待遇。
- 如果事业单位坚持要求员工转签，并因此拒绝提升工资待遇，员工可以向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，维护自己的合法权益。
建议：
- 与事业单位协商：首先，员工可以尝试与事业单位进行协商，明确表达自己的立场和诉求，要求事业单位按照原合同约定提升工资待遇，并拒绝转签第三方合同。
- 收集证据：如果协商无果，员工应当开始收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作表现证明等，以备在劳动争议调解仲裁或诉讼过程中使用。
- 申请调解或仲裁：员工可以向当地的劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁，要求事业单位履行原合同义务，并赔偿因违法行为给员工造成的损失。
可能的法律后果：
- 如果事业单位被认定存在违法行为，可能需要承担继续履行原合同、支付工资差额、赔偿损失等法律责任。
- 员工在维护自己合法权益的过程中，也应当注意遵守法律法规和程序规定，避免采取过激行为或违法手段。
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