结论：没签合同被告的情况下，双方是可以私了的，但私了协议需符合法律规定且谨慎处理后续事宜。
详细分析：
私了的法律基础：
- 在合同纠纷中，即使双方没有签订书面合同，只要存在事实上的合同关系（即一方提供了服务或商品，另一方接受了并应支付相应对价），双方仍然可以就纠纷进行协商解决，也就是所谓的“私了”。
- 私了本质上是一种民事和解，是双方自愿、平等地就争议事项达成一致意见，并签订和解协议的行为。这种和解协议在法律上是被认可的，只要它不违反法律、行政法规的强制性规定，不损害国家、集体或第三人的利益。
私了协议的注意事项：
- 明确条款：私了协议应当明确双方的权利和义务，包括纠纷的具体事项、解决方案、支付方式、支付时间等，以避免后续再次产生争议。
- 合法合规：私了协议的内容必须合法合规，不得包含任何违法或违反公序良俗的条款。
- 书面形式：虽然口头协议在某些情况下也是有效的，但为了确保协议的明确性和可执行性，建议双方将私了协议以书面形式固定下来，并签字或盖章确认。
- 履行协议：双方应当按照私了协议的约定履行各自的义务。如果一方不履行协议，另一方有权依法追究其违约责任。
私了后的法律后果：
- 一旦双方签订了私了协议并履行完毕，该纠纷就得到了彻底解决，双方不得再就同一事项向法院提起诉讼或申请仲裁。
- 如果私了协议存在无效或可撤销的情形（如欺诈、胁迫、显失公平等），受损害方有权在法定期限内请求法院或仲裁机构撤销或变更该协议。
私了与诉讼的选择：
- 私了和诉讼是解决合同纠纷的两种不同方式。私了具有灵活性和高效性，可以节省时间和成本；而诉讼则具有强制性和权威性，可以确保纠纷得到公正、彻底的解决。
- 双方在选择解决方式时，应当根据纠纷的性质、金额大小、双方关系等因素进行综合考虑。如果纠纷较为简单、金额不大，且双方关系较为和谐，可以选择私了；如果纠纷较为复杂、金额较大，或双方关系紧张，建议选择诉讼或仲裁等正式解决方式。
建议：
- 在没签合同被告的情况下，如果双方愿意私了，应当谨慎处理并签订书面私了协议。
- 如果对私了协议的内容或法律效力存在疑虑，建议咨询专业律师（即我，程亚律师，专注于婚姻家庭、合同纠纷领域）的意见，以确保协议的合法性和有效性。
- 如果私了不成或私了后一方不履行协议，应当及时考虑通过诉讼或仲裁等正式解决方式来维护自己的合法权益。