结论：针对您描述的情况，公司若想辞退该员工，需谨慎处理，否则可能面临违法解除劳动合同的风险，进而需支付赔偿金。以下从不同角度为您详细分析并给出建议：

1. 关于未签劳动合同的问题：

   • 法律后果：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果员工已工作一段时间（超过一个月）而未签合同，公司需承担支付双倍工资的责任。
   • 建议：立即与员工补签书面劳动合同，以规避法律风险。若员工拒绝补签，公司应收集能证明双方存在事实劳动关系的证据（如工资发放记录、工作证、考勤记录等），并考虑在后续处理中作为依据。

2. 关于旷工和经常请假的问题：

   • 旷工处理：公司应首先依据内部规章制度（如员工手册）对旷工行为进行定义和处罚。若规章制度中明确规定了旷工达到一定天数可解除劳动合同，且该制度已向员工公示或告知，公司可据此处理。但需注意，解除劳动合同前应给予员工合理的解释和改正机会。
   • 经常请假处理：对于员工经常请假的情况，公司应审查请假流程是否合规，以及请假原因是否合理。若员工无正当理由频繁请假，影响公司正常运营，公司可依据规章制度进行相应处理，如警告、扣减奖金等。但直接辞退需谨慎，除非请假行为严重违反公司规章制度或构成旷工。

3. 关于同事不同意辞退的问题：

   • 同事意见的法律地位：同事的意见并不构成公司辞退员工的法定理由。公司辞退员工应基于员工的行为是否违反法律法规或公司规章制度，而非其他员工的个人看法。
   • 建议：公司应独立评估员工的行为和表现，依据客观事实和法律规定作出决定。若需了解员工在团队中的表现，可通过正式渠道（如绩效评估、团队反馈等）进行收集和分析。

4. 关于辞退的合法程序：

   • 通知工会：根据《劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。用人单位违反法律、行政法规规定或者劳动合同约定的，工会有权要求用人单位纠正。用人单位应当研究工会的意见，并将处理结果书面通知工会。
   • 书面通知员工：公司决定辞退员工后，应向员工出具书面解除劳动合同通知书，明确解除理由、解除日期及后续事宜（如工资结算、社保转移等）。
   • 办理离职手续：协助员工办理离职手续，包括工作交接、社保转移、档案转移等。

5. 关于社保问题：

   • 社保缴纳义务：公司为员工缴纳社保是法定义务，无论员工是否签合同，公司都应为其缴纳社保。
   • 建议：确保员工在职期间的社保已足额缴纳。若员工离职，应及时办理社保减员手续，避免产生不必要的社保费用。

综合建议：公司应首先与员工补签书面劳动合同，以规避未签合同的风险。对于员工的旷工和经常请假行为，公司应依据内部规章制度进行调查和处理，确保处理过程合法合规。若决定辞退员工，应遵循合法程序，包括通知工会、书面通知员工及办理离职手续等。在整个过程中，公司应保持与员工的沟通，尽量通过协商解决问题，以减少法律风险。如有需要，您可以进一步向我咨询具体的法律操作细节。