结论：在第一次合同到期后的第二个月公司未续签的情况下，劳动者一般不可以直接终止劳动关系并主张违约金，但可以依据法律规定主张未续签劳动合同的双倍工资差额，并在特定条件下解除劳动关系并主张经济补偿。
分析说明：
关于终止劳动关系：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，若用人单位未与劳动者续签劳动合同，而劳动者继续在用人单位工作的，双方之间形成的是事实劳动关系。在此情况下，劳动者并不能直接“终止”这种事实劳动关系，因为终止通常指的是合同到期或双方协商一致等法定情形下的结束。若劳动者希望结束这种事实劳动关系，应当提前通知用人单位，并按照法律规定或双方约定办理离职手续。
关于主张违约金：
- 在劳动合同法律关系中，违约金的支付通常与劳动合同中的特定约定相关，如服务期协议、竞业限制协议等。若劳动合同中未明确约定违约金条款，或者约定的违约金条款不符合法律规定（如过高或过低），则劳动者一般无法主张违约金。在合同到期未续签的情况下，除非双方有特别约定，否则劳动者通常无法主张违约金。
劳动者的合法权利：
- 双倍工资差额：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在第一次合同到期后的第二个月公司未续签的情况下，劳动者有权主张自合同到期次日起至实际签订劳动合同之日止的双倍工资差额。
- 解除劳动关系并主张经济补偿：若用人单位未续签劳动合同且未支付双倍工资差额，劳动者可以依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条的规定，以用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费、未及时足额支付劳动报酬等为由解除劳动关系，并主张经济补偿。经济补偿的计算标准按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
行动建议：
- 与用人单位协商：首先，劳动者可以尝试与用人单位协商，要求续签劳动合同或支付双倍工资差额及经济补偿。
- 收集证据：若协商无果，劳动者应收集相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明双方存在事实劳动关系及用人单位未续签劳动合同的事实。
- 申请劳动仲裁：劳动者可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付双倍工资差额及经济补偿。在仲裁过程中，劳动者应充分陈述事实、提供证据，并依据法律规定主张自己的权利。
特殊场景：
- 若劳动合同中有特别约定（如自动续签条款），则需根据约定内容判断劳动者的权利。但通常，自动续签条款需要明确、具体，且不得违反法律法规的强制性规定。
- 若用人单位存在恶意不续签劳动合同、拖欠工资等违法行为，劳动者在解除劳动关系时，除主张经济补偿外，还可以向相关部门投诉或举报用人单位的违法行为。
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