结论：没签劳动合同但公司下个月发上个月的工资，这一行为本身并不直接构成违法，但未签劳动合同则违反了《劳动合同法》的相关规定。接下来，我将从工资支付和劳动合同签订两个角度详细分析。

工资支付角度

1. 工资支付周期：

   • 根据《工资支付暂行规定》第七条，工资必须在用人单位与劳动者约定的日期支付。如遇节假日或休息日，则应提前在最近的工作日支付。工资至少每月支付一次，实行周、日、小时工资制的可按周、日、小时支付工资。
   • 在您描述的情况下，公司下个月发上个月的工资，如果这一支付周期是双方约定的，并且没有违反上述关于支付日期的具体规定（比如不是故意拖延至超过一个月才支付），那么这种支付方式在工资支付周期上并不违法。

2. 工资支付合法性：

   • 工资支付的合法性主要取决于是否按时、足额支付，以及是否通过合法方式支付。只要公司按照约定的时间，将应得的工资足额支付给劳动者，且支付方式合法（如通过银行转账、现金支付等），那么工资支付行为就是合法的。

劳动合同签订角度

1. 未签劳动合同的违法性：

   • 根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
   • 在您描述的情况下，公司未与您签订劳动合同，这明显违反了《劳动合同法》的相关规定。未签劳动合同，劳动者可能面临无法证明劳动关系、无法享受相关劳动权益等风险。

2. 未签劳动合同的法律后果：

   • 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 这意味着，如果公司未与您签订劳动合同，并且这一状态持续超过一个月，您有权要求公司支付双倍工资作为赔偿。

综合建议

1. 与公司协商：

   • 首先，您可以尝试与公司协商，要求公司尽快与您签订书面劳动合同，并确保工资支付周期和方式符合法律规定。

2. 收集证据：

   • 如果公司拒绝签订劳动合同或存在其他违法行为，您应开始收集相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与公司之间的劳动关系。

3. 寻求法律帮助：

   • 如果协商无果，您可以向我咨询或寻求其他法律帮助，了解您的具体权益和可行的维权途径。根据具体情况，您可能需要向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。

总之，虽然公司下个月发上个月的工资在工资支付周期上可能并不违法，但未签劳动合同则违反了《劳动合同法》的相关规定。您有权要求公司签订劳动合同，并在必要时寻求法律帮助以维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。