员工在被派遣单位受伤，通常由劳务派遣单位（即派遣公司）承担工伤保险责任，但用工单位也可能需根据具体情况承担相应责任。以下是对此问题的详细分析：
一、劳务派遣单位的责任
工伤保险责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是劳动者的用人单位，应当履行对劳动者的义务，包括为劳动者缴纳社会保险费，其中就包括工伤保险。
- 当派遣员工在工作中受伤时，劳务派遣单位作为用人单位，应当承担工伤保险责任，负责为派遣员工申请工伤认定，并支付相应的工伤待遇，如医疗费用、伤残津贴等。
未依法缴纳工伤保险的责任：
- 如果劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险，那么员工发生工伤事故后，所有应由工伤保险支付的待遇将由劳务派遣单位自行承担。
二、用工单位的责任
安全保障和管理义务：
- 用工单位虽然不是法律意义上的用人单位，但在实际用工过程中，对劳动者负有安全保障和管理义务。
- 用工单位应提供安全的工作环境，采取必要的劳动保护措施，确保劳动者的安全。
过错责任：
- 如果用工单位提供的工作环境存在明显安全隐患，且未采取必要的安全防护措施，导致员工受伤，那么用工单位需对员工的损失承担一定比例的补充赔偿责任，甚至可能与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
协助义务：
- 在员工发生工伤事故后，用工单位有义务协助工伤认定的调查核实工作，提供相关证据材料，如事故现场照片、证人证言等。
三、实例分析
以小张为例，他是A劳务派遣公司派遣到B工厂工作的员工。如果在B工厂工作时受伤：
- 首先，A劳务派遣公司作为用人单位，应承担工伤保险责任，负责处理工伤认定和待遇支付等相关事宜。
- 如果B工厂对小张的受伤存在过错（如提供的工作环境不安全，或者未提供必要的安全培训），则B工厂可能需要对小张的损失承担补充赔偿责任或与A劳务派遣公司承担连带赔偿责任。
- 同时，如果A劳务派遣公司已为小张缴纳了工伤保险，那么符合规定的费用（如医疗费用、康复费用、一次性伤残补助金等）将由工伤保险基金支付。
四、建议与注意事项
及时申请工伤认定：
- 员工在受伤后，应尽快告知劳务派遣单位和用工单位，并由劳务派遣单位及时向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
保留相关证据：
- 员工应保留好与工伤相关的证据材料，如医疗记录、事故现场照片、证人证言等，以便在后续处理中维护自己的权益。
了解自身权益：
- 员工应了解自己的工伤保险权益，包括工伤待遇的种类、标准以及申请流程等，以便在需要时能够及时主张自己的权益。
寻求法律帮助：
- 如果员工在处理工伤事宜过程中遇到困难或争议，可以寻求专业律师的帮助，以维护自己的合法权益。
综上所述，员工在被派遣单位受伤时，责任承担是一个综合考虑多方面因素的问题。在实际操作中，应根据具体情况来确定各责任主体的责任和赔偿方式。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。