针对您提出的“劳务派遣员工工作期间受伤，用工单位不报工伤，派遣单位是否可以报工伤”的问题，以下是我的详细解答：

结论前置：劳务派遣员工在用工单位工作期间受伤，即使用工单位不报工伤，劳务派遣单位作为申报主体，仍然有权且应当及时进行救治、报告，并依法申请工伤认定。

详细解答：

1. 责任主体明确：

   • 根据《劳务派遣暂行规定》及相关法律法规，劳务派遣单位是工伤申报的主体，承担工伤保险责任。这意味着，无论用工单位是否报告工伤，劳务派遣单位都有义务为受伤员工申报工伤。

2. 及时救治与报告：

   • 一旦发生工伤，用工单位应立即将受伤员工送往协议医疗机构进行急救。同时，用工单位需立即通知劳务派遣单位。
   • 劳务派遣单位在接到通知后，应在24小时内向社会保险行政部门和工伤保险经办机构报告事故，确保受伤员工得到及时救治和工伤认定的顺利进行。

3. 申请工伤认定的时限：

   • 劳务派遣单位须在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起30日内提出工伤认定申请。这是法定的申请时限，劳务派遣单位必须严格遵守。
   • 如果劳务派遣单位未按时申请，工伤职工或其近亲属、工会组织也有权在1年内直接向用人单位所在地社会保险行政部门提出申请。

4. 准备并提交申请材料：

   • 劳务派遣单位在申请工伤认定时，需要准备并提交一系列必要的材料，包括工伤认定申请表（含事故详情）、劳动关系证明（如劳动合同）、医疗诊断证明或职业病诊断书等。
   • 这些材料是工伤认定的重要依据，劳务派遣单位必须确保材料的真实性和完整性。

5. 社会保险行政部门的审核与认定：

   • 社会保险行政部门将在收到申请后15日内对提交的材料进行审核。如果材料不完整，将要求劳务派遣单位补充。
   • 根据需要，社会保险行政部门还可能进行现场调查核实。在这个过程中，用工单位需要配合调查，提供必要的协助。
   • 社会保险行政部门将在受理申请之日起60日内作出工伤认定决定，并出具《认定工伤决定书》或《不予认定工伤决定书》。

6. 后续处理与争议解决：

   • 如果工伤认定成功，工伤职工将享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费用、康复费、伙食补助等由工伤保险基金支付的部分，以及停工留薪期工资、伤残津贴等由用人单位支付的部分。
   • 如果劳务派遣单位与用工单位就工伤赔偿等事项发生争议，双方可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等方式解决。在这个过程中，受伤员工的合法权益将得到充分保障。

总结：劳务派遣员工在用工单位工作期间受伤，即使用工单位不报工伤，劳务派遣单位仍然有权且应当及时为受伤员工申报工伤。这是劳务派遣单位的法定义务，也是保障受伤员工合法权益的重要措施。在整个过程中，劳务派遣单位与用工单位应紧密合作，确保流程的顺畅进行。