结论：工作十八年签订无固定期限劳动合同后，单位提出解除劳动合同的赔偿问题，需根据解除劳动合同的具体原因来确定赔偿方案，主要分为违法解除和合法解除两种情况。
一、违法解除劳动合同的情况
如果单位违法解除与您的劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，单位应当按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。经济补偿的计算标准如下：
经济补偿计算基数：根据您在单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
具体计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = 工作年限 × 月工资 × 2（但需注意，工作年限超过十二年的，也按十二年计算经济补偿的年限上限，不过此上限仅针对经济补偿，赔偿金因是经济补偿的二倍，故实际计算时仍会考虑全部工作年限，但月工资标准可能受三倍社平工资限制，具体看下面说明）。不过，有一个特殊情况需要说明，即如果您的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向您支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且向您支付经济补偿的年限最高不超过十二年。但在此情况下，赔偿金计算时，虽然经济补偿年限受十二年限制，但赔偿金总额仍会因是经济补偿的二倍而体现对全部工作年限的考量（只是月工资基数可能受限），不过严格从法律规定出发，赔偿金计算基数（即经济补偿数额）受上述三倍社平工资及十二年年限限制的影响，最终赔偿金数额为受限制后的经济补偿数额的二倍。但为便于理解，可简化为：若月工资未超三倍社平工资，则赔偿金大致为工作年限×月工资×2（工作年限无十二年上限）；若月工资超三倍社平工资，则赔偿金为（十二年×社平工资三倍）×2（即经济补偿受十二年年限及三倍社平工资限制后的二倍）。
举例说明：假设您在单位工作了18年，月工资为10000元，且未超过当地社平工资的三倍，那么单位违法解除劳动合同时，应当向您支付的赔偿金为：18年 × 10000元/年 × 2 = 360000元。若月工资超过了当地社平工资的三倍，假设社平工资为5000元，三倍为15000元，则经济补偿按15000元/月计算，且年限最高按12年算，经济补偿为12年×15000元/年=180000元，赔偿金为180000元×2=360000元（此例中因月工资刚好为三倍社平工资且按十二年算经济补偿与按全部年限算结果相同，仅为说明计算方法，实际中若月工资更高或社平工资不同则结果会有差异）。
二、合法解除劳动合同的情况
如果单位合法解除与您的劳动合同，那么单位需要向您支付的是经济补偿，而非赔偿金。经济补偿的计算标准与上述违法解除情况中的经济补偿计算基数相同，但无需乘以二。
合法解除的情形：包括您严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，或者双方协商一致解除劳动合同等。
具体计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（同样需注意月工资高于社平工资三倍时的限制）。
举例说明：假设您在单位工作了18年，月工资为10000元，且因您严重违反单位规章制度而被合法解除劳动合同，那么单位应当向您支付的经济补偿为：18年 × 10000元/年 = 180000元（若月工资超三倍社平工资，则按三倍社平工资及十二年年限上限计算经济补偿）。
三、其他注意事项
协商解除：如果双方协商一致解除劳动合同，且是由单位提出的，那么单位也需要向您支付经济补偿，计算标准与上述合法解除情况相同。
特殊情况：如果您存在《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条规定的情形，如患病或者非因工负伤在规定的医疗期内、女职工在孕期产期哺乳期等，单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同，否则构成违法解除，需支付赔偿金。
证据收集：在处理此类纠纷时，建议您收集好相关证据，如劳动合同、工资单、解除劳动合同通知书等，以便在维权时提供有力支持。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。