结论：不合法。公办幼儿园作为用人单位，与劳动者签订每个学期仅5个月的合同且不缴纳社保的行为，违反了《劳动合同法》和《社会保险法》的相关规定。

具体分析：

1. 关于劳动合同期限
   根据《劳动合同法》第十二条、第十五条，用人单位与劳动者可订立固定期限劳动合同（如1年、3年等），但需明确约定合同终止时间。即使幼儿园因学期制度需短期用工，也应通过续签合同或签订以完成一定工作任务为期限的合同（如“完成本学期教学任务”）来规范劳动关系，而非直接约定5个月期限后自动终止。
   若幼儿园未与劳动者协商一致即单方面终止合同，可能构成违法解除，需支付赔偿金（经济补偿金的2倍）。

2. 关于社保缴纳义务
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十条，用人单位必须自用工之日起30日内为劳动者办理社保登记并缴纳社保，无论劳动合同期限长短。即使劳动者同意不缴纳社保，该约定也因违反法律强制性规定而无效。
   未缴纳社保的，劳动者可要求幼儿园补缴，并可向当地社保部门投诉；若因未缴社保导致劳动者无法享受待遇（如医疗、养老），幼儿园还需承担赔偿责任。

建议行动：

1. 与幼儿园协商：要求签订完整期限的劳动合同（如1年），并补缴社保；若幼儿园拒绝，可明确告知其违法性。
   
2. 向劳动监察部门投诉：携带劳动合同、工资记录等证据，向当地劳动保障监察大队举报幼儿园未缴社保的行为。
   
3. 申请劳动仲裁：若幼儿园违法解除合同或拒不补缴社保，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张补缴社保、支付经济补偿金或赔偿金。

温馨提示：社保是劳动者的法定权益，即使短期用工，用人单位也无权免除缴纳义务。如有进一步疑问或需要协助准备证据材料，可随时向我咨询。