要求补签合同却让写离职申请，这一行为本身并不符合常规的劳动法律逻辑，可能存在以下几种情况和法律分析：

1. 医院可能存在的误解或不当操作：

   • 医院可能误以为补签合同意味着需要重新确立劳动关系，而错误地认为这需要员工先离职再重新入职。但实际上，补签合同通常是为了确认或修正原有的劳动关系条款，并不需要员工离职。
   • 法律建议：你可以向医院明确说明，补签合同并不需要离职，而是对原有劳动关系的确认或调整。如果医院坚持要求离职申请，你可以拒绝并要求医院按照法律规定处理。

2. 医院试图规避法律责任：

   • 在某些情况下，医院可能试图通过让员工写离职申请来规避可能因未签合同而产生的法律责任，如双倍工资赔偿等。
   • 法律后果：如果医院因此逃避了应承担的法律责任，员工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，要求医院承担相应的法律责任。
   • 法律建议：保留好与医院沟通的记录，包括书面材料、聊天记录等，作为后续维权的证据。同时，可以向劳动监察部门咨询或投诉，了解自己的权益和维权途径。

3. 双方沟通不畅或信息不对称：

   • 可能是由于双方沟通不畅或信息不对称，导致医院对补签合同的目的和流程存在误解。
   • 法律建议：主动与医院进行沟通，明确补签合同的目的和流程，以及双方的权利和义务。如果可能的话，可以邀请医院的人力资源部门或法律顾问参与沟通，以确保双方的理解一致。

4. 特殊情况下的合理操作（但需谨慎）：

   • 在极少数特殊情况下，如医院进行重大改革或重组，可能需要员工先离职再重新入职以适应新的劳动关系。但这种情况通常会有明确的通知和解释，并且会遵循相关的法律程序。
   • 法律建议：如果医院确实存在这种特殊情况，并且给出了合理的解释和通知，你可以考虑是否接受。但在接受之前，务必仔细阅读新的劳动合同条款，确保自己的权益不受损害。同时，也可以咨询专业的劳动法律师以获取更具体的法律建议。

针对你的具体情况，我给出以下建议：

• 首先，与医院进行坦诚的沟通，明确补签合同的目的和流程，以及医院为何要求你写离职申请。
• 如果医院无法给出合理的解释或坚持不当要求，你可以向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，保留好所有相关的书面材料和沟通记录，作为后续维权的证据。

如果你有任何进一步的疑问或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。