结论前置：您在小工厂上班没有签劳动合同，公司随意解雇员工的行为是违法的，您受到法律的保护。以下从多个角度为您详细分析：
一、未签劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果您在小工厂工作超过一个月而未签订劳动合同，工厂需要向您支付双倍的工资作为赔偿。
二、公司随意解雇员工的法律后果
违法解除劳动合同的赔偿：
- 如果公司没有合法理由随意解雇您，这构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的计算标准是：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
举证责任：
- 在劳动纠纷中，举证责任通常由用人单位承担。如果公司主张您存在严重违反公司规章制度等合法解雇理由，需要提供充分的证据来证明。如果公司无法提供有效证据，那么其解雇行为将被视为违法。
三、您的维权途径
协商：
- 您可以首先尝试与公司进行协商，要求公司支付未签劳动合同的双倍工资以及违法解除劳动合同的赔偿金。
投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，请求劳动监察部门介入调查并处理。
仲裁或诉讼：
- 如果投诉仍未解决问题，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
四、建议
收集证据：
- 在维权过程中，证据的收集至关重要。您应尽可能收集与工作相关的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明您与公司之间存在劳动关系以及公司违法解雇您的事实。
及时咨询：
- 劳动纠纷的处理往往涉及复杂的法律程序和专业知识。因此，建议您在维权过程中及时咨询专业律师（比如我，杨启浩律师，专注于劳动纠纷领域），以获取专业的法律意见和帮助。
综上所述，您在小工厂上班没有签劳动合同，公司随意解雇员工的行为是违法的。您有权要求公司支付未签劳动合同的双倍工资以及违法解除劳动合同的赔偿金。在维权过程中，建议您收集证据并及时咨询专业律师。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。