结论：小工厂没有签合同且违法辞退员工，员工有权要求工厂支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。

一、法律权益分析

1. 未签订劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。若超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，用人单位应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 在您的情况下，由于小工厂未与您签订劳动合同，您有权要求工厂支付自用工之日起满一个月后的双倍工资差额。

2. 违法解除劳动合同的法律后果：

   • 用人单位违反法律规定解除或者终止劳动合同，劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 若小工厂违法辞退您，且您不要求继续履行劳动合同或劳动合同已无法继续履行，您有权要求工厂支付违法解除劳动合同的赔偿金。

二、证据收集

在维权过程中，证据的收集至关重要。您应尽可能收集以下证据来证明与小工厂存在事实劳动关系以及被非法辞退的事实：

• 工作记录：如考勤表、工作日志、任务分配记录等，这些能证明您在小工厂的工作情况。
• 薪资证明：工资条、银行转账记录、微信或支付宝转账记录等，这些能证明您的薪资水平及支付情况。
• 沟通记录：与上级或同事的聊天记录、电子邮件、短信等，特别是涉及工作安排、薪资调整、辞退通知等内容，这些能证明您与小工厂之间的沟通情况及辞退事实。
• 其他证据：如工牌、工作服、同事证言等，这些也能辅助证明您与小工厂之间的事实劳动关系。

三、维权步骤

1. 与小工厂协商：

   • 在收集了足够的证据后，您可以尝试与小工厂进行协商，要求支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及违法解除劳动合同的赔偿金。
   • 若双方能够达成一致意见，可以签订和解协议并履行。

2. 申请劳动仲裁：

   • 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
   • 在申请仲裁时，需要提交仲裁申请书（详细陈述仲裁请求和事实理由）、证据材料（包括上述收集的工作记录、薪资证明、沟通记录等）以及身份证明（如身份证复印件等）。
   • 仲裁委员会将依法进行审理，并根据事实和法律规定作出裁决。

3. 提起诉讼（如必要）：

   • 如果您对仲裁结果不满意，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
   • 在诉讼过程中，您需要继续提供证据支持自己的主张，并遵循法院的诉讼程序和要求。

四、注意事项

• 及时行动：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，您应及时采取行动维护自己的权益。
• 保留证据原件：在维权过程中，务必保留好所有证据的原件，以便在需要时提供。
• 寻求专业帮助：如果您对法律程序不熟悉或感到困惑，可以向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。

五、赔偿金计算（示例）

假设您在小工厂工作了6个月，月工资为5000元，且小工厂违法辞退您。那么，您有权要求的赔偿金计算如下：

• 未签订劳动合同的双倍工资差额：5个月（因为第一个月不计算双倍工资）× 5000元/月 = 25000元。
• 违法解除劳动合同的赔偿金：1个月（经济补偿标准，因工作不满6个月按半个月计算，但违法解除需双倍，故为1个月）× 5000元/月 × 2 = 10000元。

因此，您总共有权要求小工厂支付35000元的赔偿。当然，具体数额还需根据您的实际情况和当地法律法规进行调整。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。