结论：机关单位员工生病后是否必须先请年休假再请病假，法律上并无强制性规定，主要取决于具体病情、单位管理规定及个人需求。以下从不同角度为你详细分析：
一、法律层面分析
《公务员法》与《职工带薪年休假条例》：
- 这两部法律法规并未明确规定公务员或机关单位员工在生病时必须先使用年休假再请病假。因此，从法律角度讲，员工有权根据自己的实际情况和需求选择合适的假期类型。
病假与年假的基本定义及区别：
- 病假：是员工因病或非因工负伤需要暂停工作进行治疗和休养的假期。病假期间，员工享有一定比例的工资，具体标准依据连续工龄和本单位工作时间确定，且不得低于当地最低工资标准的80%。
- 年假：是员工每年享受的带薪休假，是员工的一项福利。年假的天数通常根据员工的工作年限来确定，如累计工作已满1年不满10年的，年休假5天；已满10年不满20年的，年休假10天；已满20年的，年休假15天。
二、实际情况与利弊考量
先休病假：
- 适用情形：病情较重，需要较长时间治疗和恢复。
- 好处：保障员工安心治疗和身体康复，同时病假期间工资有一定保障。
- 弊端：可能影响绩效考核和职业发展，特别是若单位对病假管理严格时。此外，根据《职工带薪年休假条例》，若病假累计达到一定天数，可能不再享受当年的年休假。
先休年假：
- 适用情形：病情较轻，预计在短时间内能恢复，且不影响正常工作。
- 好处：避免因后续工作安排导致年假“浪费”，同时年假期间可自由安排休息和调养，减少单位对健康状况的关注。
- 弊端：年假天数有限，若疾病治疗时间较长，用完年假后仍需请病假；可能引发单位对工作态度的负面看法。
三、单位管理规定的影响
- 许多机关单位会根据工作特点和管理需要制定内部休假管理制度，可能对病假和年假的使用顺序或规则作出明确规定。例如，有的单位可能建议员工生病时优先使用年假，以保持工作的连续性和稳定性。
- 因此，员工在决定先休病假还是年假时，应首先了解并遵守所在单位的相关规定。
四、综合建议
- 了解单位规定：在决定先休病假还是年假前，建议咨询单位的相关部门或领导，了解清楚具体的规定和要求。
- 根据自身情况选择：若单位无明确规定，可根据自身病情严重性、治疗需求以及年假的有效利用情况来灵活选择。
- 维护自身权益：若认为单位的规定侵害了自身合法权益，可与单位协商沟通；协商不成的，可依法向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的权益。
总结：机关单位员工生病后是否必须先请年休假再请病假，并无明确的法律规定。员工应根据自身病情、单位管理规定以及个人需求来做出合理选择。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。