结论：游戏公司要求与未成年视频以核实充值退款事宜，这一要求本身并不直接违法，但需谨慎处理，确保不侵犯未成年人隐私权及其他合法权益。若视频要求超出合理核实范围或侵犯隐私，监护人有权拒绝并寻求其他合法途径解决退款问题。

法律背景与建议

1. 核实退款事宜的合理性：

   • 游戏公司作为服务提供商，在接到未成年人未经监护人同意充值的退款申请时，有责任进行核实，以确保退款请求的真实性和合理性。
   • 要求提供视频等额外证据，可能是游戏公司为了更准确地核实情况而采取的措施。然而，这一要求需在合理范围内，且不得侵犯未成年人的合法权益。

2. 隐私权保护：

   • 未成年人同样享有隐私权，其个人信息和隐私应受到法律保护。
   • 游戏公司要求视频可能涉及未成年人的肖像权、隐私权等，若未经监护人同意，擅自录制或传播未成年人视频，可能构成侵权。
   • 建议：监护人在面对此类要求时，应首先询问游戏公司视频的具体用途、处理方式及保密措施，确保不侵犯未成年人隐私权。若认为要求不合理或可能侵犯隐私，有权拒绝并提供其他证据支持退款申请。

3. 合法途径解决退款问题：

   • 若游戏公司坚持要求视频且监护人认为不合理，监护人可以拒绝并继续通过其他合法途径解决退款问题。
   • 具体步骤：
     1. 收集证据：包括未成年人身份证明、充值记录、辅助证据（如聊天记录、支付密码设置情况等）。
     2. 与游戏平台沟通：通过官方渠道联系游戏公司，清晰说明情况并提供证据，请求退款。
     3. 向监管部门投诉：若游戏公司拒绝退款或处理不当，可以向当地文化和旅游部门、消费者协会等监管部门投诉。
     4. 考虑法律途径：在必要时，可以咨询我（史亮律师，专注于建设工程、合同纠纷、公司事务、知识产权、刑事辩护、侵权纠纷领域），了解具体的法律程序和诉讼方式，通过法律途径维护自身权益。

4. 预防措施与教育：

   • 监护人应加强对未成年人的监管和教育，引导他们树立正确的消费观念，避免未经同意进行大额充值。
   • 利用支付密码、青少年模式等功能限制未成年人的消费行为，减少类似纠纷的发生。

可能的法律后果

• 若游戏公司未经监护人同意擅自录制或传播未成年人视频，可能面临法律责任，包括但不限于民事赔偿、行政处罚等。
• 监护人若通过合法途径成功申请退款，游戏公司需按照约定或法律规定退还相应款项。

总结：游戏公司要求与未成年视频以核实充值退款事宜，需在合理范围内且不侵犯未成年人隐私权等合法权益。监护人应谨慎处理此类要求，并通过合法途径解决退款问题。如有需要，可以随时向我（史亮律师）咨询相关法律问题。