核心结论：私立学校合同授教二年后被辞退且处于寒暑假期间，社保缴纳责任需分情况讨论，具体如下：

1. 若辞退行为合法且学校已履行通知义务
   根据《劳动合同法》及社保缴纳相关规定，用人单位需为劳动者缴纳社保至劳动关系终止当月。若学校在寒暑假前已依法解除劳动合同（如提前30日书面通知或支付代通知金），且解除决定生效于寒暑假开始前，则社保缴纳责任截止至劳动关系终止当月，后续寒暑假期间社保由劳动者自行承担（若未及时就业）或由新单位缴纳（若已就业）。
   关键点：需核实劳动合同解除时间是否早于寒暑假起始日，以及学校是否完成法定解除程序。

2. 若辞退行为违法或未履行通知义务
   若学校未依法解除劳动合同（如未提前通知、无合法理由辞退），则劳动关系在寒暑假期间仍存续，学校需继续为劳动者缴纳社保至劳动关系实际终止日。此时劳动者可主张学校补缴寒暑假期间社保，并可能要求支付违法解除赔偿金（2N个月工资）。
   关键点：需收集学校违法辞退的证据（如辞退通知、沟通记录等），以支持社保补缴及赔偿主张。

3. 寒暑假期间劳动关系存续的特殊情形
   若劳动合同或学校规章制度明确约定“寒暑假期间劳动关系自动延续”，或劳动者在寒暑假期间仍为学校提供劳动（如线上授课、值班等），则学校需持续缴纳社保。此时辞退行为若发生在寒暑假期间，社保责任同样延续至劳动关系终止日。
   关键点：需审查劳动合同及学校规章制度，确认寒暑假期间劳动关系状态。

行动建议：

• 立即收集劳动合同、辞退通知、工资记录、寒暑假工作安排等证据；
  
• 向学校书面要求出具解除劳动合同的合法证明及社保缴纳明细；
  
• 若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉或申请劳动仲裁，主张补缴社保及赔偿金。
  

如有进一步细节（如辞退理由、劳动合同具体条款等），可随时补充说明，我将为您细化分析。