结论前置：您离职后才发现私立学校老师也享有寒暑假工资，并考虑通过劳动仲裁来维护自己的权益，这一做法是正确的。您有权要求学校补发您应得的寒暑假工资，并可能获得相应的经济补偿。

详细分析：

1. 合同权益与劳动仲裁：

   • 您在私立学校任职期间，虽然可能在签订合同时并不了解教师享有寒暑假工资的具体规定，但这并不影响您作为劳动者应享有的合法权益。
   • 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》，劳动者有权获得劳动报酬，且劳动报酬的支付应当遵循按劳分配原则，实行同工同酬。
   • 如果您发现学校未按照法律规定支付您寒暑假工资，您完全有权向当地劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁，要求学校补发工资并赔偿相应损失。

2. 劳动仲裁的时效与程序：

   • 劳动仲裁的时效期一般为一年，自您知道或者应当知道自己的权益被侵害之日起计算。因此，您需要尽快收集相关证据，如合同、工资单、考勤记录等，以支持您的仲裁请求。
   • 劳动仲裁程序包括提交仲裁申请、受理、开庭、调解、裁决等步骤。在仲裁过程中，您需要充分陈述自己的诉求和理由，并提供充分的证据来支持您的主张。

3. 可能的法律后果：

   • 如果劳动仲裁委员会认定学校确实存在未支付您寒暑假工资的行为，那么学校将需要补发您应得的工资，并可能支付一定的经济补偿金。
   • 此外，学校还可能面临劳动行政部门的处罚，如警告、罚款等，以促使其遵守劳动法律法规。

法律建议：

• 在提起劳动仲裁前，建议您先与学校进行协商，尝试通过和解的方式解决纠纷。
• 如果协商无果，您应尽快收集相关证据，并向当地劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁。
• 在仲裁过程中，您需要保持冷静和理性，充分陈述自己的诉求和理由，并积极配合仲裁委员会的调解和裁决工作。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您在劳动仲裁过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。