私立学校教师被辞退时的补偿问题，确实需要根据具体情况和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来综合判断。以下是我为您详细梳理的补偿情况分析：

一、合法辞退与补偿

1. 双方协商一致解除劳动合同

   • 如果私立学校与教师协商一致解除劳动合同，那么学校需要按照教师在本单位的工作年限来支付经济补偿金。具体标准是：每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。

2. 无过失性辞退

   • 在某些情况下，如教师患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作，或不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任，或劳动合同订立时的客观情况发生重大变化无法履行且未能就变更内容达成协议等，学校可以提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并需支付相应的经济补偿金。

3. 经济性裁员

   • 如果学校因重整、生产经营严重困难等情形需要裁减人员，且符合法定条件，那么学校应提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取意见后裁减，并向被裁教师支付经济补偿金。

4. 合同期满不续约（学校原因）

   • 如果劳动合同期满，学校不同意按维持或高于原条件续订劳动合同，那么学校需要支付经济补偿金。

二、违法辞退与赔偿

如果私立学校的辞退行为被认定为违法，比如未进行离岗前职业健康检查、在诊断或医学观察期间被辞退，或者女职工在孕期、产期、哺乳期被辞退等，那么学校需要按照经济补偿金的两倍支付赔偿金。具体标准同样是依据教师在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资来计算。

三、无需支付补偿的情形

当然，也存在一些学校无需支付经济补偿金或赔偿金的情形，比如：

• 教师存在过失性行为，如试用期间不符合录用条件、严重违反学校规章制度、严重失职给学校造成重大损害等。
• 双方协商一致解除劳动合同，但教师明确表示放弃经济补偿金。

四、月工资的定义与计算

在计算经济补偿金或赔偿金时，月工资是一个关键指标。它指的是教师在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。如果教师的月工资高于所在地区上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿金的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高不超过十二年。

五、实际应用建议

面对辞退问题，我建议您首先判断辞退的合法性。如果认为辞退违法，您可以依据《劳动合同法》的相关规定，要求学校支付相应的赔偿金。同时，为了维护自己的合法权益，您应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知书等。

综上所述，私立学校教师被辞退时的补偿情况需根据辞退的合法性、工作年限以及月工资水平综合确定。希望这些信息能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询。