财务负责人被刑事立案后不能随意提出离职，需根据具体情况判断离职的合法性与可行性。具体分析如下：

1. 刑事立案对离职权利的直接影响
   根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者享有提前30日书面通知解除劳动合同的权利，但此权利并非绝对。若财务负责人因涉嫌经济犯罪（如职务侵占、挪用资金等）被刑事立案，其离职可能涉及以下法律限制：

   • 用人单位的抗辩权：根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可单方解除劳动合同。但“刑事立案”不等于“被追究刑事责任”（需经法院判决有罪），此时用人单位若直接解除合同可能构成违法解除，需支付赔偿金。
     
   • 离职的合法性风险：若财务负责人试图通过离职逃避刑事调查或责任，可能构成《刑法》第三百一十条规定的“窝藏、包庇罪”或妨碍作证等行为，进一步加重法律责任。

2. 离职的实务操作限制

   • 配合调查义务：根据《刑事诉讼法》第六十四条，被立案人员有义务配合公安机关、检察机关的调查工作。若财务负责人擅自离职，可能被认定为“逃避侦查”，导致案件从“立案侦查”阶段直接进入“强制措施”（如刑事拘留、逮捕），反而限制人身自由。
     
   • 用人单位的配合要求：若财务负责人涉及单位犯罪（如公司涉嫌虚开增值税专用发票罪），其离职可能影响案件侦办进度。用人单位可能依据内部规章制度或行业监管要求（如金融、证券行业），拒绝办理离职手续或要求其继续履行配合义务。

3. 合法离职的路径建议

   • 协商解除：与用人单位协商一致解除劳动合同，并签署书面协议明确离职后仍需配合调查的义务（如提供证言、交接财务资料等），避免后续纠纷。
     
   • 申请休假或停职：若刑事立案导致无法正常履职，可依据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》申请病假，或根据用人单位规章制度申请停职，保留劳动关系的同时减少法律风险。
     
   • 等待司法程序终结：若案件进入审判阶段，可依据《刑法》第三十七条之一的规定，在法院判决前申请取保候审或监视居住，再依法办理离职手续。

风险提示：财务负责人被刑事立案后，离职行为可能被解读为“逃避责任”或“妨碍侦查”，建议优先通过法律程序（如申请取保候审、配合调查）降低风险，再协商离职事宜。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。