核心结论：针对您未签合同且工作两年半未购买保险的情况，您有权要求用人单位支付未签书面劳动合同的双倍工资差额、补缴社会保险，并可能因用人单位的违法行为主张经济补偿。以下是具体分析：

1. 未签书面劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您已工作两年半，理论上可主张11个月（第二个月至第十二个月）的双倍工资差额。但需注意：

   • 诉讼时效为1年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算（通常为未签合同满1年的次日）。若已超过时效，可能无法获得支持。
     
   • 需提供能证明劳动关系存在的证据（如工资流水、工牌、考勤记录、同事证言等），以证明您与用人单位存在事实劳动关系。

2. 补缴社会保险
   根据《社会保险法》第五十八条，用人单位应当自用工之日起30日内为劳动者办理社会保险登记。您工作两年半未缴纳社保，可要求用人单位补缴工作期间的社会保险（包括养老、医疗、失业、工伤、生育保险）。

   • 补缴流程通常需通过劳动监察部门或社保经办机构投诉，由用人单位配合完成。若用人单位拒绝，您可申请劳动仲裁或提起诉讼，要求其履行补缴义务。
     
   • 需注意：部分地区对补缴社保的时效有限制（如仅允许补缴近2年），但您的情况可能因未签合同属于特殊情形，需结合当地政策具体分析。

3. 经济补偿
   若您以用人单位未依法缴纳社会保险为由提出解除劳动关系，根据《劳动合同法》第三十八条和第四十六条，您有权要求用人单位支付经济补偿。计算方式为：

   • 经济补偿 = 工作年限 × 月工资（工作满2年半，按2.5个月工资计算）。
     
   • 月工资指您离职前12个月的平均工资（包括基本工资、奖金、津贴等）。
     

4. 其他注意事项

   • 证据收集：务必保留能证明劳动关系、工作年限、工资标准的证据（如工资条、银行流水、工作证、聊天记录等），这是维权的关键。
     
   • 维权途径：可先与用人单位协商，协商不成可向当地劳动监察大队投诉，或申请劳动仲裁（免费）。若对仲裁结果不服，可向法院提起诉讼。
     
   • 时效限制：劳动仲裁的时效为1年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。建议尽快行动，避免超过时效。
     

建议：您的情况涉及多项权益，建议优先整理证据（如工资流水、工作证明等），然后根据实际情况选择协商、投诉或仲裁。若需进一步帮助，可直接向我咨询具体操作流程。