结论：您工作半年未签合同且未缴纳保险，有权要求用人单位支付未签合同的双倍工资差额、补缴社会保险，并可能因违法解除劳动关系获得经济补偿（若存在解除情形）。具体分析如下：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额

根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资。

• 计算方式：您已工作6个月，可主张第2个月至第6个月（共5个月）的双倍工资差额（即原工资的1倍，总额约为5个月工资）。
  
• 举证责任：您需提供能证明劳动关系的证据（如工资流水、考勤记录、工作证、同事证言等），以证明入职时间及工资标准。

2. 未缴纳社会保险的补缴与赔偿

根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位必须自用工之日起30日内为劳动者办理社保登记并缴费。

• 补缴义务：您可要求用人单位补缴工作期间的社会保险（养老、医疗、失业、工伤、生育）。
  
• 经济赔偿：若因未缴社保导致您无法享受社保待遇（如医疗费报销、失业金领取等），可要求用人单位赔偿实际损失。
  
• 投诉途径：向当地社保部门（如社保局、劳动监察大队）投诉，要求强制补缴。

3. 违法解除劳动关系的经济补偿（若存在）

若用人单位以“未签合同”为由直接辞退您，可能构成违法解除，需支付赔偿金。

• 赔偿标准：根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条，违法解除需支付2倍经济补偿（即每工作1年支付2个月工资）。您工作6个月，可主张1个月工资的经济补偿×2=2个月工资。
  
• 注意：若您主动离职或因严重违纪被解雇，则无法主张赔偿金。

4. 操作建议

1. 收集证据：优先整理工资流水、考勤记录、工作沟通记录等，证明劳动关系及入职时间。
   
2. 协商解决：与用人单位沟通，要求补签合同、补缴社保并支付双倍工资差额。
   
3. 投诉举报：若协商无果，向当地劳动监察大队投诉（针对未签合同、未缴社保），或申请劳动仲裁（主张双倍工资、经济补偿）。
   
4. 时效限制：劳动仲裁时效为1年，自您知道权益受损之日起计算，建议尽快行动。

温馨提示：若用人单位拒绝配合，您可通过法律途径维权，但需注意保留证据并遵守程序。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。