结论：孩子不能申请法院断绝父子关系，因为父子关系是基于血缘产生的，无法通过法律手段或其他方式人为解除。但孩子可以通过法律途径来维护自己获得抚养费的合法权益。
详细分析：
父子关系的法律性质：
- 父子关系是基于血缘关系形成的，这种关系在我国法律体系中是客观存在且无法通过法律程序或其他方式人为解除的。即使父亲从未支付过抚养费，也不能改变父子之间的血缘关系和法律上的权利义务关系。
- 根据《中华人民共和国民法典》和《中华人民共和国宪法》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务，这是父母的法定责任，不因父母离婚或其他任何原因而消除。
抚养费的支付与法律后果：
- 如果父亲不支付抚养费，孩子或直接抚养孩子的一方有权先与父亲协商沟通，要求其履行支付义务。
- 若协商不成，可以向法院提起诉讼，要求父亲履行抚养义务。法院会根据双方的具体情况，判决父亲支付相应的抚养费。抚养费包括子女生活费、教育费、医疗费等费用。
- 如果父亲拒不执行法院的判决，申请人可以向法院申请强制执行。法院有权采取多种强制措施，如查询、冻结、划拨支付方的存款，查封、扣押、拍卖其财产等，以确保抚养费的支付。
- 拒不支付抚养费的行为还可能影响个人信用记录，进入失信被执行人名单后，在出行、贷款、高消费等诸多方面都会受到限制。若有能力执行而拒不执行法院判决、裁定，情节严重的，还可能构成拒不执行判决、裁定罪，被依法追究刑事责任。
建议与行动：
- 面对父亲不支付抚养费的情况，孩子或直接抚养孩子的一方应首先尝试与父亲进行协商，看是否能够达成一致协议，促使父亲自觉履行支付义务。
- 如果协商无果，应果断向法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。在诉讼过程中，要准备好相关证据材料，如起诉状、双方的身份信息、孩子的出生证明、离婚协议书或离婚判决书等，以证明亲子关系以及抚养费相关约定或判决的证据材料。
- 在获得法院判决后，如果父亲仍然拒不支付抚养费，要及时向法院申请强制执行，以确保抚养费的支付。
总结：父子关系是无法通过法律手段断绝的，但孩子可以通过法律途径来维护自己获得抚养费的合法权益。面对父亲不支付抚养费的情况，应积极采取行动，通过协商、诉讼和强制执行等手段来维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。