结论前置：父亲不履行抚养孩子的义务，不可以申请断绝父女关系。父女关系是基于血缘产生的，无法通过法律手段或其他方式人为解除。面对父亲不履行抚养义务的情况，应通过法律途径来维护孩子的权益。
一、法律关系的不可解除性
血缘关系的客观性：
- 父女关系是基于子女出生的事实而形成的，这种关系是一种客观存在，自出生即产生，且无法通过声明或其他方式人为地解除。
- 在我国法律中，只有收养关系可以通过合法途径解除，而基于血缘的亲子关系则无法解除。
法定义务的持续性：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这是父母的法定责任，不因父母离婚或其他任何原因而消除。
- 即使父亲不履行抚养义务，父女关系依然存在，且父亲仍需承担法律责任。
二、抚养费的支付与法律后果
支付义务：
- 《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条明确规定，父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。
- 抚养费包括子女生活费、教育费、医疗费等费用，是保障子女基本生活和教育需求的重要经济来源。
法律途径维权：
- 如果父亲不支付抚养费，母亲或子女（通过母亲或其他法定代理人）有权先与其协商沟通，要求其履行支付义务。
- 若协商不成，可以向法院提起诉讼，要求父亲履行抚养义务。法院会根据双方的具体情况，判决父亲支付相应的抚养费。
强制执行与法律责任：
- 如果父亲拒不执行法院的判决，申请人可以向法院申请强制执行。法院有权采取多种强制措施，如查询、冻结、划拨支付方的存款，查封、扣押、拍卖其财产等。
- 拒不支付抚养费的行为还可能影响个人信用记录，进入失信被执行人名单后，在出行、贷款、高消费等诸多方面都会受到限制。
- 若有能力执行而拒不执行法院判决、裁定，情节严重的，还可能构成拒不执行判决、裁定罪，被依法追究刑事责任。
三、实际建议与操作
收集证据：
- 在提起诉讼前，应收集好父亲不履行抚养义务的相关证据，如聊天记录、转账记录、证人证言等，以证明父亲未支付抚养费的事实。
咨询与起诉：
- 在准备好证据后，可以向我咨询具体的诉讼流程和注意事项，或者直接向法院提起诉讼，要求父亲支付抚养费。
关注孩子心理：
- 在处理此类纠纷时，还应关注孩子的心理状况，避免给孩子带来不必要的心理压力和伤害。可以通过心理疏导、家庭关爱等方式，帮助孩子度过难关。
四、总结与提醒
父女关系是基于血缘产生的，无法通过法律手段或其他方式人为解除。面对父亲不履行抚养义务的情况，应通过法律途径来维护孩子的权益，包括协商、诉讼和强制执行等。试图通过断绝关系来解决问题是不可行的，也是不符合法律规定的。因此，建议当事人在遇到此类问题时，及时采取措施，通过合法途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。