结论前置：房子没住满一个月且没签合同的情况下，是否可以退房租并没有一个固定的答案，而是需要根据具体情况进行具体分析，包括双方协商结果、实际居住情况以及是否存在特殊情形等。

一、双方协商结果

1. 友好协商：在没有签订书面合同的情况下，双方应首先尝试通过友好协商来解决退房租的问题。你可以与房东沟通，说明你的实际情况和退租意愿，看房东是否愿意退还部分或全部房租。

2. 协商内容：在协商过程中，你可以提出根据实际居住天数来计算房租，并退还剩余部分的建议。同时，也可以询问房东是否有其他要求或条件，以便双方能够达成一致意见。

二、实际居住情况

1. 居住天数：如果你已经实际居住了部分天数，那么根据公平原则，房东有权要求你支付这部分天数的房租。剩余未居住的天数，房东则应考虑退还给你。

2. 房屋状况：在退租时，你应确保房屋保持良好状态，没有造成不必要的损坏。如果房屋存在损坏情况，房东可能会要求你承担修复费用或从退还的房租中扣除相应金额。

三、特殊情形

1. 租赁物无法使用：如果房屋存在严重质量问题或安全隐患，导致你无法正常居住，那么即使没有签订合同，你也可以要求房东退还房租。在这种情况下，你可以收集相关证据（如照片、视频等）来证明房屋的状况。

2. 不可抗力原因：如因自然灾害、政府征收等不可抗力原因导致你无法继续居住，你也可以与房东协商退还房租。在这种情况下，双方应相互理解，共同寻求解决方案。

3. 房东违约在先：如果房东在租赁期间存在违约行为（如未按时提供房屋、房屋不符合约定条件等），导致你无法正常居住，那么你不仅可以要求退还房租，还可能要求房东承担赔偿责任。

四、法律途径

1. 诉讼准备：如果双方无法就退房租事宜达成一致意见，你可以考虑通过法律途径来解决争议。在提起诉讼前，你应收集相关证据（如聊天记录、转账记录、房屋状况照片等）来支持你的主张。

2. 法律程序：你可以向当地法院提起民事诉讼，要求房东退还房租并承担相应责任。法院会根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。

建议与提醒：

• 在租赁房屋时，建议尽量签订书面合同，明确双方的权利和义务，以避免类似纠纷的发生。
• 如果遇到退房租等纠纷问题，应保持冷静、理性沟通，并尽量通过协商达成一致意见。
• 如果协商无果或存在特殊情形需要法律支持时，可以及时向我咨询或寻求其他法律帮助。