农民工遭遇工伤时，劳动监察部门是负责管理的，这是其法定职责之一。具体分析如下：

1. 劳动监察部门的职责范围
   根据《劳动保障监察条例》第十条，劳动保障行政部门（即劳动监察部门）的职责包括监督检查用人单位遵守劳动保障法律法规的情况，其中明确涵盖“工伤保险等社会保险法律法规的执行情况”。因此，农民工因工伤引发的劳动权益问题（如用人单位未参保、未支付工伤待遇等）属于劳动监察的管辖范围。

2. 劳动监察的处理方式
   若农民工遭遇工伤后，用人单位存在未依法缴纳工伤保险、拒不支付工伤待遇等违法行为，可向当地劳动监察部门投诉。劳动监察部门将依法调查，责令用人单位限期整改（如补缴社保、支付待遇），并可对违法行为处以罚款等行政处罚。例如，若用人单位未为农民工缴纳工伤保险，劳动监察部门可要求其补缴并承担本应由工伤保险基金支付的待遇。

3. 与其他救济途径的衔接
   劳动监察是行政救济途径，与劳动仲裁、诉讼等司法途径并行。若农民工对劳动监察处理结果不满，或需确认劳动关系、申请工伤认定等，可进一步申请劳动仲裁或提起诉讼。例如，若用人单位否认劳动关系，需先通过劳动仲裁确认劳动关系，再申请工伤认定。

建议行动步骤：

1. 立即向用人单位报告工伤，并要求其申请工伤认定；
   
2. 若用人单位拒绝，农民工或其近亲属可在1年内直接向社保部门申请工伤认定；
   
3. 同时向当地劳动监察部门投诉用人单位的违法行为（如未参保、拒付待遇）；
   
4. 保留医疗记录、工资凭证等证据，以备后续维权使用。
   

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