工厂工伤事故，安监部门（现应急管理部门）是否管理，主要取决于事故的性质及具体情况。以下是对此问题的详细分析：
一、需要报告并管理的情况
存在安全生产违法行为或事故隐患：
- 若工伤事故是由于工厂存在安全生产违法行为（如未提供必要的安全防护设施、安全培训不到位、违规指挥施工等）或事故隐患（如生产设备长期未维护导致员工受伤）导致的，应急管理部门会介入管理。
- 应急管理部门有权对施工单位进行调查，核实相关情况，并根据违法情节的严重程度给予行政处罚。
发生生产安全事故：
- 根据《生产安全事故报告和调查处理条例》，若事故造成人员伤亡或直接经济损失，无论大小，均可能构成生产安全事故。具体分为特别重大、重大、较大和一般事故。
- 发生这类事故时，工厂应立即向应急管理部门报告，确保伤者得到及时救治，收集事故证据，并配合应急管理部门的调查处理工作。应急管理部门将按照相关规定和程序展开调查处理，查明事故原因，确定事故责任，并严肃追究责任单位和责任人的责任。
二、不需要报告但应内部处理的情况
日常工作中意外偶然因素导致的工伤：
- 如员工在操作机器时因机器突发故障（非长期未维护导致）而受伤，且不存在安全生产违法行为或重大安全隐患，通常按工伤认定和工伤保险程序处理，不需专门报告应急管理部门。
- 但工厂仍需按照内部规定和相关劳动法律法规，对工伤员工进行及时救治和工伤认定处理。
非生产安全事故导致的工伤：
- 如员工在上下班途中发生的交通事故（非工作原因导致），应立即报告执勤的交通警察或公安机关交通管理部门，而非应急管理部门。
- 此类工伤同样需按工伤认定和工伤保险程序处理，以保障员工权益。
三、工伤认定与赔偿流程
无论事故是否需要报告应急管理部门，工厂均应确保及时为受伤员工申请工伤认定，以保障其合法权益。具体流程如下：
申请工伤认定：
- 用人单位应在事故伤害发生之日起30日内向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 若用人单位未在规定时限内提交申请，期间发生的工伤待遇费用由用人单位负担。
治疗与劳动能力鉴定：
- 工伤认定后，员工可进行治疗。治疗结束后，可选择进行劳动能力鉴定，以确定伤残等级和赔偿标准。
申请工伤待遇审核：
- 完成工伤认定和治疗流程后，申请工伤待遇审核。待遇下发后，整个流程完毕。
总结与建议：工厂发生工伤事故后，应根据事故性质判断是否需要向应急管理部门报告。同时，无论是否报告，工厂均应确保及时为受伤员工申请工伤认定，并按照相关法律法规和内部规定进行处理。为确保员工的合法权益得到保障，建议工厂加强安全生产管理，提高员工安全意识，并及时为受伤员工办理工伤认定和赔偿手续。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。