结论前置：劳动合同到期未续签但员工仍在工作的情况下，员工是否需要提醒公司续签，这并非法律强制要求，但出于维护自身权益和明确劳动关系的考虑，员工可以主动提醒公司。以下从不同角度进行详细分析：
一、法律层面分析
劳动合同到期后的法律状态：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，若双方未续签且员工继续在公司工作，这并不意味着原劳动合同自动延续。实际上，此时双方形成的是一种事实劳动关系，但这种关系在法律上可能存在一定的模糊性。
提醒公司的法律意义：
- 员工提醒公司续签劳动合同，有助于明确双方的权利和义务，避免因为劳动关系不明确而引发的纠纷。
- 若公司未及时续签劳动合同，但员工继续工作，公司可能面临支付双倍工资的风险（根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资）。虽然这一条款主要针对的是用工之日起未签订劳动合同的情况，但劳动合同到期未续签且继续工作的情况，在司法实践中也可能被视为未签订书面劳动合同，从而适用双倍工资的规定。不过，具体是否适用还需根据地方司法实践和具体案情来判断。
经济补偿的考虑：
- 若劳动合同到期，公司选择不续签，根据《劳动合同法》的规定，公司应向员工支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 员工提醒公司续签，可以促使公司及时作出决定，从而员工可以尽早了解自己的经济补偿情况。
二、实践层面分析
维护良好劳动关系：
- 员工主动提醒公司续签劳动合同，体现了员工的积极态度和对劳动关系的重视，有助于维护良好的劳动关系。
- 通过沟通，双方可以就续签条件、薪资待遇等进行协商，达成一致意见后签订新的劳动合同，从而确保劳动关系的稳定性和明确性。
避免潜在纠纷：
- 若员工不提醒公司续签，而公司也未主动提出，双方可能因劳动关系不明确而引发纠纷。例如，在发生工伤、工资拖欠等情况时，双方可能因劳动合同是否有效、劳动关系是否存在等问题而产生争议。
- 员工提醒公司续签，可以促使公司及时处理劳动合同问题，从而避免潜在纠纷的发生。
三、建议与操作
员工建议：
- 员工可以主动与公司的人力资源部门或相关负责人沟通，提醒公司续签劳动合同。
- 在沟通时，员工可以明确表达自己的意愿和期望，如希望续签的期限、薪资待遇等。
- 若公司表示不续签或未给出明确答复，员工可以要求公司出具书面说明，以便后续维权。
公司建议：
- 公司应建立健全劳动合同管理制度，明确劳动合同到期处理流程。
- 在劳动合同到期前，公司应主动与员工沟通续签事宜，了解员工的意愿和期望。
- 若公司决定不续签，应依法向员工支付经济补偿，并办理终止劳动合同的相关手续。
最后，劳动合同到期未续签但员工仍在工作的情况下，员工提醒公司续签并非法律强制要求，但出于维护自身权益和明确劳动关系的考虑，员工可以主动提醒。若您在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。