结论：超市在与偷窃者私了后，一般情况下不会主动曝光其信息，因为这可能涉及对偷窃者隐私权、名誉权的侵犯。但具体是否曝光，还需考虑多种因素，包括超市的内部政策、偷窃者的行为态度以及法律的具体规定。
法律角度分析
隐私权与名誉权保护：
- 根据我国法律，公民享有隐私权、名誉权等人格权利。即便偷窃者实施了违法行为，其合法的人格权利依然受到法律保护。超市未经法律授权，私自曝光偷窃者的个人信息及偷窃情节，可能构成侵权，需承担法律责任。
特定合法曝光情形：
- 若超市将相关情况反馈给公安机关，公安机关根据法律规定和工作需要进行的信息披露是合法的执法行为。
- 若经偷窃者本人同意，超市进行曝光也不构成侵权。但这种情况较为少见，因为偷窃者通常不会愿意自己的行为被公开。
私了后的法律效果：
- 私了即双方达成和解，超市不再追究偷窃者的法律责任。但这并不意味着超市不能对偷窃行为进行任何形式的处理，如内部记录、采取预防措施等。然而，这些处理方式应严格遵守法律规定，不得侵犯偷窃者的合法权益。
实际操作角度分析
超市通常不会曝光：
- 超市选择私了的目的往往是快速解决问题、挽回损失，并避免事件扩大化对经营秩序和声誉产生不利影响。因此，私了后超市通常没有必要主动曝光偷窃者的信息。
可能存在曝光风险：
- 若偷窃者在私了过程中态度恶劣，或超市认为该行为严重影响其利益和形象，超市可能会出于警示其他顾客、维护自身权益等目的，在一定范围内（如超市内部）以某种形式进行曝光。但这种曝光必须谨慎处理，避免超出合理限度而引发法律风险。
沟通与协商：
- 在私了过程中，偷窃者可与超市进行沟通，明确其意图和政策，表达担忧并请求不要公开曝光。通过协商一致，可以妥善解决此问题。
道德与社会舆论因素
- 从道德层面来看，超市在私了后仍选择曝光偷窃者信息，可能会引发公众对其商业道德的质疑。社会舆论也可能对此产生负面评价，影响超市的声誉和形象。
综合建议
尊重法律与道德：
- 偷窃是违法行为，应尊重他人财产权，遵守法律法规。同时，超市在处理偷窃行为时也应遵循法律规定，尊重偷窃者的人格权利。
谨慎处理私了事宜：
- 在私了过程中，双方应充分沟通、协商一致，明确各自的权利和义务。偷窃者可表达担忧并请求超市不要公开曝光其信息；超市则应考虑自身利益和声誉，谨慎决定是否曝光。
寻求法律帮助：
- 如果超市不合理地曝光偷窃者信息，被曝光者可以通过与超市协商、向消费者协会投诉或向法院提起诉讼等方式来维护自己的合法权益。在此过程中，如有需要，可随时向我咨询相关法律问题。
总之，超市在与偷窃者私了后是否曝光其行为是一个复杂的问题，需综合考虑法律和实际操作层面的多个因素。在处理此类问题时，应谨慎行事、遵循法律规定，并注重保护当事人的合法权益。