结论：在私人企业或超市工作，若未上意外保险而受伤，您仍有权依据法律规定要求用人单位承担相应责任，具体处理方式需结合劳动关系性质、受伤原因等因素综合判断。以下是详细分析：

一、明确劳动关系性质是关键前提

1. 若存在劳动关系（即签订书面劳动合同或形成事实劳动关系）：

   • 根据《工伤保险条例》第二条，用人单位必须为员工缴纳工伤保险，未缴纳属于违法行为。
   • 处理方式：
     • 申请工伤认定：即使未参保，您仍可向当地社保部门申请工伤认定（需提供劳动关系证明、医疗诊断证明等材料）。
     • 要求用人单位承担工伤待遇：经认定为工伤后，用人单位需自行支付全部工伤赔偿（包括医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等），若拒付可申请劳动仲裁或起诉。
     • 行政处罚：社保部门可对用人单位未参保行为处以罚款，并责令补缴。

2. 若为劳务关系（如临时工、退休返聘人员等）：

   • 不适用《工伤保险条例》，但可依据《民法典》侵权责任编主张赔偿。
   • 处理方式：
     • 证明过错：需证明用人单位存在过错（如未提供安全工作环境、未培训等）导致受伤。
     • 按过错比例索赔：根据双方过错程度，要求用人单位赔偿医疗费、误工费等损失。

二、未参保不影响员工主张权利的法律依据

• 《社会保险法》第四十一条：职工所在用人单位未依法缴纳工伤保险费，发生工伤事故的，由用人单位支付工伤保险待遇。
• 《劳动合同法》第三十八条：用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的，劳动者可解除劳动合同并要求经济补偿。

三、实务建议：分步骤维护权益

1. 固定证据：
   • 保存劳动合同、工资条、考勤记录等证明劳动关系的材料。
   • 收集现场照片、证人证言、医疗记录等证明受伤事实的材料。
2. 协商解决：
   • 优先与用人单位沟通，明确要求其承担责任（可引用上述法律条款增强说服力）。
3. 行政投诉：
   • 向当地劳动监察大队投诉用人单位未参保行为，督促其补缴并处理赔偿。
4. 法律程序：
   • 若协商无果，可申请劳动仲裁（劳动关系争议）或直接起诉（劳务关系争议）。

四、风险提示

• 时效限制：工伤认定申请需在受伤后1年内提出，劳动仲裁需在纠纷发生后1年内申请。
• 举证责任：劳务关系中需自行证明用人单位过错，建议提前咨询律师完善证据链。

总结：未参保不影响您主张赔偿的权利，但需根据劳动关系性质选择不同路径。建议优先通过协商或行政途径解决，若争议复杂可进一步向我咨询具体操作方案。