结论前置：不签合同随意解雇劳动者是不合法的。劳动关系的建立并不以签订书面劳动合同为前提，实际用工行为即构成劳动关系，双方均受劳动法律法规的约束。
一、劳动关系的建立与劳动合同的签订
根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。这意味着，只要存在实际用工，无论是否签订书面合同，劳动关系都已成立。同时，该法第八十二条规定，若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定强调了签订书面劳动合同的重要性，并明确了用人单位未按时签订合同需承担的法律责任。
二、用人单位不能随意解雇的情形
未签订劳动合同而随意解雇：
- 如果用人单位超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，并在此期间随意解雇劳动者，除了需支付双倍工资外，还可能需要支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准是经济补偿标准的二倍，具体计算公式为：赔偿金=工作年限×月工资×2（工作年限不满六个月的，支付半个月工资的二倍；六个月以上不满一年的，按一年计算）。
解雇行为不符合法定程序：
- 即使劳动者存在一些过错，但用人单位在解雇时没有遵循法定的程序，如没有提前通知工会（如果用人单位有工会组织）、没有说明解雇理由等，也可能被认定为违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。
三、用人单位可以合法解雇的情形
即便未签订书面劳动合同，但在特定情况下，用人单位仍可以合法解雇劳动者，主要包括以下几种情形：
试用期不符合录用条件：
- 若用人单位有明确的录用条件，并能举证证明劳动者在试用期内不符合这些条件，可以依据《劳动合同法》第三十九条规定解除劳动关系，无需支付经济补偿。
严重违反规章制度：
- 劳动者若多次无故旷工、在工作中严重失职给单位造成重大损害等，严重违反了用人单位的规章制度，用人单位有权解除劳动关系。
存在欺诈等致使劳动合同无效的行为：
- 若劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下与之建立劳动关系，用人单位可以解除劳动合同。
四、劳动者权益保护与维权途径
若用人单位未与劳动者签订劳动合同且违法解雇劳动者，劳动者可以通过以下途径维护自己的合法权益：
收集证据：
- 如工作证、考勤记录、工资条、同事证言等，以证明与用人单位存在事实劳动关系及工作年限等情况。
申请劳动仲裁：
- 向当地劳动争议仲裁委员会提起仲裁，要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资、违法解除劳动合同的经济赔偿金等。
提起诉讼：
五、对用人单位的建议
尽快签订劳动合同：
- 用人单位应尽快与员工签订正式的劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免潜在的纠纷和法律风险。
合法解雇员工：
- 在解雇员工时，必须遵循相关法律规定，确保解雇行为的合法性和合理性，如提前通知、支付相应的经济补偿等。
综上所述，不签合同随意解雇劳动者是不合法的。无论是用人单位还是劳动者，都应了解并遵守劳动法律法规，以确保劳动关系的和谐稳定。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。