核心结论：劳务派遣合同到期后员工一直请病假，处理方式需分情况讨论，主要取决于原劳务派遣合同是否续签、用工单位是否继续用工等因素。以下是具体分析：
1. 若劳务派遣合同未续签，但用工关系仍存续
- 法律关系：根据《劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同。若合同到期后未续签，但劳动者仍在用工单位工作，视为双方存在事实劳动关系，劳务派遣单位需在1个月内与劳动者补签书面劳动合同，否则需支付双倍工资（最长11个月）。
- 病假处理：
- 医疗期：劳动者在医疗期内（根据工龄和当地规定，一般为3-24个月），劳务派遣单位不得解除合同，需支付病假工资（不低于当地最低工资的80%）。
- 医疗期满：若医疗期满后仍不能工作，劳务派遣单位可提前30日以书面形式通知劳动者或额外支付1个月工资后解除合同，但需支付经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。
2. 若劳务派遣合同未续签，且用工单位退回劳动者
- 退回条件：用工单位需符合《劳务派遣暂行规定》第十二条的情形（如客观情况重大变化、经济性裁员等），否则可能构成违法退回。
- 后续处理：
- 劳务派遣单位安排新岗位：若劳动者能从事新岗位，派遣单位应安排；若不能，可按医疗期规定处理。
- 无新岗位或劳动者拒绝：派遣单位可依据《劳动合同法》第四十条解除合同，并支付经济补偿金。
3. 若劳务派遣合同已续签，但劳动者长期病假
- 合同期限：续签后的合同需明确期限，若为固定期限，到期后按上述医疗期规则处理；若为无固定期限，则需持续支付病假工资直至医疗期满。
- 用工单位责任：用工单位需配合派遣单位处理病假事宜，如提供医疗证明、协助安排工作等，但解除合同权在派遣单位。
实务建议
- 核查合同与医疗期：首先确认劳务派遣合同是否续签、劳动者工龄及当地医疗期规定，以判断派遣单位是否可解除合同。
- 沟通与协商：建议派遣单位与劳动者、用工单位协商，如调整岗位、缩短病假工资支付期限等，降低法律风险。
- 程序合规：若需解除合同，务必履行法定程序（如通知工会、提前通知等），避免被认定为违法解除。
总结：劳务派遣合同到期后员工长期病假，需结合合同续签情况、医疗期规则及用工单位退回条件综合处理。建议优先通过协商解决，若必须解除合同，务必确保程序合法。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。