结论：根据您描述的情况，工厂未与您签订劳动合同，且在工作10天后无故解雇您，您是有权追偿的，具体追偿内容及方式如下：
一、未签订劳动合同的双倍工资差额
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”虽然您仅工作了10天，未满一个月，但此条款体现了法律对未签订劳动合同行为的惩罚性，且在实际操作中，对于未签订劳动合同的短期用工，劳动者仍有权主张相应的权益，尤其是当用人单位存在过错时。不过，直接依据此条主张双倍工资差额可能不完全适用，但可结合其他条款和原则进行综合考量。
- 更直接相关的是，该法第十条也规定了建立劳动关系应当订立书面劳动合同，用人单位未履行的，劳动者可主张权益。
实际操作与建议：
- 在实际操作中，虽然您工作未满一个月，但工厂未与您签订劳动合同的行为已经违反了法律规定。您可以向工厂提出，由于未签订劳动合同，您有权要求工厂支付一定的经济补偿，这可以视为是对工厂违法行为的惩罚性赔偿，尽管严格意义上不完全等同于双倍工资差额，但基于公平原则和法律精神，您可以尝试主张。
- 更稳妥的做法是，您可以向工厂提出，要求工厂支付您工作期间的工资，并额外支付一部分作为未签订劳动合同的补偿（具体数额可双方协商，或参考当地类似案例）。若工厂拒绝，您可考虑通过法律途径解决。
二、违法解除劳动关系的赔偿金
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”
- 第八十七条规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
- 第四十七条规定：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”
具体计算与建议：
- 由于您仅工作了10天，不满六个月，因此按照第四十七条的规定，工厂应支付您半个月工资作为经济补偿。但由于工厂是违法解除劳动关系，所以根据第八十七条，工厂应支付您双倍的经济补偿，即一个月工资作为赔偿金。
- 计算公式：赔偿金 = 月工资 × 1（因为工作不满六个月，按半个月计算经济补偿，但违法解除需双倍，故为1个月工资，此处为简化理解，实际因工作天数极少，可能需结合具体情况与工厂协商或由法院裁决确定具体数额，但原则上是支持一个月工资左右的赔偿）
- 实际操作：您可以先与工厂协商，要求工厂支付您一个月的工资作为违法解除劳动关系的赔偿金。若工厂拒绝，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求工厂支付赔偿金。
三、其他注意事项
- 证据收集：在追偿过程中，您需要收集相关证据来证明您与工厂之间存在劳动关系（如工作证、工资条、同事证言等）以及工厂未与您签订劳动合同和违法解除劳动关系的事实。
- 法律途径：若与工厂协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
总结：您有权向工厂追偿未签订劳动合同的相应补偿以及违法解除劳动关系的赔偿金。建议您先与工厂协商，若协商无果，再通过法律途径解决。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。