核心结论：付了货款工厂却不给开票，您可以通过协商、投诉举报、法律诉讼等途径来维护自己的合法权益。以下是对这一问题的详细分析：
一、协商解决
尝试友好沟通：首先，您可以尝试与工厂进行友好沟通，明确表达您需要发票的诉求，并询问工厂为何未能开具。有时候，这可能是由于工厂内部的疏忽或流程问题导致的，通过沟通可能能够迅速解决。
提出合理要求：在沟通时，您可以提出合理的要求，如要求工厂在一定期限内开具发票，并明确发票的开具方式和寄送方式等。同时，您也可以要求工厂就未能及时开具发票给您带来的不便进行一定的补偿或道歉。
二、投诉举报
向税务部门投诉：如果协商无果，您可以向当地的税务部门进行投诉举报。根据《中华人民共和国税收征收管理法》等相关法律法规，工厂有义务按照规定开具发票。税务部门在接到投诉后，会进行调查核实，并依法对工厂进行处理。
向消费者协会或市场监管部门投诉：除了税务部门外，您还可以向当地的消费者协会或市场监管部门进行投诉。这些部门在接到投诉后，也会进行调查处理，并可能协调工厂与您之间的纠纷。
三、法律诉讼
准备证据材料：如果投诉举报仍未能解决问题，您可以考虑通过法律诉讼来维护自己的权益。在提起诉讼前，您需要准备充分的证据材料，如付款凭证、与工厂的沟通记录、投诉举报的回执等。
提起诉讼：您可以向法院提起诉讼，要求工厂开具发票并承担因未能开具发票给您带来的损失。法院在审理案件后，会根据事实和法律规定作出判决，并强制工厂履行判决义务。
四、注意事项
保留好相关证据：在整个过程中，您需要保留好所有与交易和发票相关的证据材料，以便在需要时提供证明。
了解相关法律法规：在处理此类问题时，您也需要了解相关的法律法规和政策规定，以便更好地维护自己的权益。
如果您在处理此类问题时遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询。我具备多领域的法律实务经验，能够为您提供清晰、详细、有深度的解答。