在劳动纠纷一审诉讼中，确实可以申请先行支付部分请求，但需满足一定条件并遵循特定程序。以下是对这一问题的详细分析：
一、法律依据与原则
根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，虽然并未直接规定劳动纠纷中可以先行支付部分请求，但民事诉讼中的“先予执行”制度为这一做法提供了法律基础。先予执行是指在终审判决作出之前，因当事人一方生活或生产经营的急需，依法裁定义务人预先履行义务的制度。在劳动纠纷中，如果劳动者因用人单位拖欠工资、工伤医疗费等急需资金维持生活或治疗，可以向法院申请先予执行部分请求。
二、申请条件
申请先行支付部分请求（即先予执行）需满足以下条件：
- 当事人之间权利义务关系明确：即劳动者与用人单位之间的劳动关系、工资支付、工伤赔偿等事实清楚，证据充分。
- 不先予执行将严重影响申请人的生活或者生产经营：如劳动者因拖欠工资无法维持基本生活，或因工伤无法支付医疗费用等。
- 被申请人有履行能力：即用人单位有支付工资、赔偿工伤等费用的经济能力。
三、申请程序
- 提交申请书：劳动者应向法院提交书面申请书，明确请求先予执行的内容、金额及理由，并附相关证据材料。
- 法院审查：法院将对申请书及证据材料进行审查，必要时可举行听证会，听取双方当事人的意见。
- 裁定先予执行：经审查认为符合先予执行条件的，法院将作出裁定，要求用人单位先行支付部分或全部请求金额。
- 执行与担保：用人单位应按照裁定要求履行支付义务。如用人单位不履行，法院可采取强制执行措施。同时，为保障用人单位的合法权益，法院可能要求劳动者提供担保。
四、注意事项
- 申请时机：劳动者应在诉讼过程中适时提出先予执行申请，通常是在提起诉讼后、法院作出终审判决前。
- 证据充分：劳动者应提供充分的证据证明其权利义务关系明确、急需资金以及用人单位有履行能力。
- 担保问题：如法院要求提供担保，劳动者应积极配合，否则可能影响先予执行的裁定。
- 后续诉讼：先予执行并不影响后续诉讼的进行，法院仍将对整个案件进行审理并作出终审判决。
五、实际案例与操作建议
在实际操作中，劳动者因拖欠工资或工伤赔偿等急需资金时，可及时向法院申请先予执行。例如，某劳动者因工伤需要紧急治疗，但用人单位拒绝支付医疗费用，此时劳动者可向法院申请先予执行医疗费用，以保障其生命健康安全。在申请过程中，劳动者应咨询专业律师（即我，朱辰律师，专注于劳动纠纷领域），确保申请书内容准确、证据充分，并了解法院对先予执行的具体要求和程序。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据你的具体情况，提供详细的法律建议和操作指导。