结论前置：劳动者在用人单位连续工作满十年，提出签订无固定期限劳动合同，并不必须是在劳动合同续签时提出，只要满足法定条件，劳动者在任何时候（包括原合同履行期间或到期前）均可提出。
详细分析
一、法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。在以下情形中，除非劳动者提出订立固定期限劳动合同，否则应当订立无固定期限劳动合同：
劳动者在该用人单位连续工作满十年的：这是劳动者提出签订无固定期限劳动合同的核心条件之一。只要劳动者在同一用人单位连续工作满十年，无论原劳动合同是否到期，劳动者均有权提出签订无固定期限劳动合同。
用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的：这是另一种特定情形下的签订无固定期限劳动合同的条件。
连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的：这是针对连续订立固定期限劳动合同后的续订情形。
二、提出签订无固定期限劳动合同的时机
劳动者提出签订无固定期限劳动合同的时机并不局限于劳动合同续签时。只要劳动者满足连续工作满十年的条件，且用人单位未提出订立固定期限劳动合同，劳动者可以在原劳动合同履行期间或到期前任何时候提出签订无固定期限劳动合同的要求。
三、实际操作建议
收集证据：劳动者应首先收集能证明劳动关系及工作年限的证据，如工资支付凭证、社保缴纳记录、工作证、服务证等。这些证据在后续协商、投诉或仲裁过程中至关重要。
与用人单位协商：劳动者可以尝试与用人单位进行友好协商，明确提出订立无固定期限劳动合同的要求，并指出相关法律规定。若用人单位同意，双方可签订书面协议，明确权利义务。
劳动监察投诉或劳动仲裁：若协商无果，劳动者可向当地劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位签订无固定期限劳动合同，并可能要求支付双倍工资差额及相应经济补偿。
四、实例说明
以李四为例，其在某公司连续工作了十年，原劳动合同即将到期。在合同到期前，李四向公司提出签订无固定期限劳动合同的要求。公司同意了李四的要求，并与其签订了无固定期限劳动合同。在此情况下，李四成功维护了自己的合法权益。
总结与建议
劳动者在用人单位连续工作满十年，有权提出签订无固定期限劳动合同，且提出时机并不局限于劳动合同续签时。劳动者应充分了解自己的法律权利，积极收集证据，并通过合法合理的途径维护自身权益。在协商、投诉、仲裁过程中，保持冷静理性，遵循法律程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。