关于编外老师是否会被开除的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要根据具体情况来分析。
首先，编外老师，作为事业单位中的非编制人员，其聘用和管理通常遵循劳动合同或劳务派遣的相关规定。这意味着，他们的聘用关系、工作职责、薪酬待遇以及解聘条件等，都应在合同中明确约定。
从一般情况来看，编外老师并不会因为“编外”身份而随意被开除。如果编外老师能够履行合同约定的职责，遵守单位规章制度，且没有出现严重违纪违法行为，那么他们通常能够保持稳定的聘用关系。
然而，也存在一些特殊情况可能导致编外老师被解聘或开除。例如：
严重违纪违法：如果编外老师出现严重违反单位规章制度、职业道德或法律法规的行为，如贪污受贿、滥用职权、严重失职等，那么根据合同约定和相关法律法规，他们可能会被解聘或开除。以您提供的参考信息为例，杭州市临平区南苑街道城市建设办公室原编外工作人员朱骐杰，就因严重违纪违法问题被开除党籍并解除劳动关系。
单位改革或调整：在事业单位改革或调整过程中，如果编外老师所在的岗位被撤销或合并，且新单位不接收原编外人员，那么他们可能会面临被清退的风险。但根据相关规定，即使被清退，也不能简单地直接开除，而是应按照劳动合同或劳务派遣的有关规定，解除劳动合同并补偿经济损失。
合同到期不续签：如果编外老师的劳动合同到期，且双方没有达成续签协议，那么合同自然终止，编外老师将不再被聘用。
因此，编外老师是否会被开除，取决于多种因素的综合考量。为了保持稳定的聘用关系，编外老师应严格遵守合同约定和单位规章制度，不断提升自己的专业素养和职业道德水平。同时，也应关注事业单位改革和调整的动态，以便及时应对可能出现的风险和挑战。