可以起诉派遣公司不签劳务合同。以下从不同角度为你详细分析：

法律角度

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

在劳务派遣关系中，派遣公司作为用人单位，同样需要遵守上述规定，与被派遣劳动者签订书面劳动合同。如果派遣公司不签劳务合同，就违反了法律规定，劳动者有权通过法律途径维护自己的合法权益，包括起诉派遣公司。

起诉流程与要点

1. 收集证据：在起诉前，你需要收集能够证明你与派遣公司存在劳动关系以及派遣公司未与你签订书面劳动合同的证据。这些证据可以包括但不限于：工作证、工资条、考勤记录、工作邮件、聊天记录、同事证言等。
2. 确定管辖法院：根据民事诉讼法的规定，劳动争议案件由用人单位所在地或者劳动合同履行地的基层人民法院管辖。因此，你可以选择向派遣公司所在地或者你实际工作地点的基层人民法院提起诉讼。
3. 撰写起诉状：起诉状应当载明原告和被告的基本信息、诉讼请求、事实与理由等内容。在事实与理由部分，你需要详细阐述派遣公司未与你签订书面劳动合同的事实，以及这一行为给你造成的损失或影响。
4. 提交起诉状并缴纳诉讼费：将起诉状提交给法院，并按照法院的要求缴纳诉讼费。诉讼费的具体金额根据案件的性质和标的额来确定。
5. 参与庭审：在庭审过程中，你需要按照法院的安排进行陈述、举证、质证等诉讼活动。法院将根据双方提供的证据和陈述，依法作出判决。

可能的法律后果

如果法院认定派遣公司确实存在未与你签订书面劳动合同的行为，那么派遣公司可能需要承担以下法律后果：

1. 支付双倍工资：根据劳动合同法的规定，派遣公司可能需要向你支付自用工之日起超过一个月不满一年未签订书面劳动合同期间的双倍工资。
2. 视为订立无固定期限劳动合同：如果派遣公司自用工之日起满一年仍未与你签订书面劳动合同，那么法院可能会认定你们之间已经订立了无固定期限劳动合同。
3. 其他赔偿：如果派遣公司的行为给你造成了其他损失（如社保未缴纳导致的损失等），那么派遣公司还可能需要承担相应的赔偿责任。

建议

在起诉前，我建议你先尝试与派遣公司进行协商，看是否能够通过协商解决问题。如果协商无果，再考虑通过法律途径维护自己的合法权益。同时，在起诉过程中，你也可以考虑寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。如果你有任何法律问题，都可以直接向我咨询。