结论：针对您描述的情况，第一年只签了一个月试用工合同，第二年才正常签订劳动合同，您有可能获得第一年的赔偿，但具体能否获得赔偿以及赔偿的金额，需要根据实际情况和法律规定来综合判断。以下是从不同角度的详细分析：
一、试用期合同的合法性
试用期期限：根据《劳动合同法》的规定，劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。如果第一年您只签订了一个月的试用期合同，且后续没有签订正式的劳动合同，那么这一个月的试用期合同在期限上可能是合法的，但关键在于后续是否及时签订了正式合同。
试用期合同与正式合同的关系：试用期应包含在劳动合同期限内，且试用期合同不能单独存在，它应是劳动合同的一部分。如果第一年只签订了一个月的试用期合同，且之后没有签订正式的劳动合同，那么这种做法可能违反了《劳动合同法》的规定，即用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
二、赔偿的可能性与计算
未签订书面劳动合同的赔偿：如果第一年您与用人单位只签订了一个月的试用期合同，且之后未签订正式的劳动合同，那么从第二个月开始，用人单位应当向您支付二倍的工资作为赔偿。赔偿的计算方式为：赔偿金额 = 未签订书面劳动合同期间的月工资 × 未签订书面劳动合同的月数。但需要注意的是，这个赔偿的期限最长不超过十一个月，因为根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
其他可能的赔偿：除了未签订书面劳动合同的赔偿外，如果用人单位在第一年还存在其他违法行为，如未按时支付工资、未缴纳社会保险等，您还可能获得其他相应的赔偿。
三、实际操作中的建议
收集证据：为了维护自己的合法权益，您需要收集相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以证明您与用人单位之间存在劳动关系以及用人单位的违法行为。
与用人单位协商：在收集到足够证据后，您可以先与用人单位进行协商，要求用人单位支付相应的赔偿。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
申请劳动仲裁：如果与用人单位协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求用人单位支付未签订书面劳动合同的赔偿以及其他可能的赔偿。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关证据和申请书等材料。
最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，因此在实际操作中，您还需要根据具体情况来制定合适的维权策略。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。