当申请执行人作为法定代表人死亡后，其执行程序并不会因此自动终结。根据相关法律规定，其权利继受人，在符合法定条件的情况下，是有权继续申请执行的。以下是一个详细且清晰的解答流程：

一、确定权利继受人

首先，需要明确的是，申请执行人死亡后，其权利将由遗嘱执行人、受遗赠人、继承人或其他依法承受生效法律文书确定权利的主体来继受。在大多数情况下，这些权利继受人会是原申请执行人的法定继承人，如配偶、子女、父母等近亲属。这一步骤至关重要，因为它确保了后续流程中权利继受人的合法性和适格性。

二、准备并提交相关材料

确定了权利继受人之后，接下来需要准备并提交一系列关键材料以继续申请执行。这些材料包括但不限于：

1. 身份证明：如身份证、户口本等有效证件，用于证明自己的身份。
2. 亲属关系证明：如公安机关出具的亲属关系证明、户口本、结婚证等，以证明与原申请执行人的关系。
3. 继承证明：如遗嘱、遗产分割协议、法院关于继承的判决书或调解书等，这些材料将证明你的继承权。
4. 执行申请书：在这份申请书中，你需要明确申请执行的事项、理由及请求。
5. 原执行依据：即法院作出的生效判决书、裁定书、调解书等法律文书，这是继续执行的基础。

这些材料应提交给原执行法院，你可以选择现场提交或邮寄方式完成。

三、法院审查与处理

法院在收到你的申请后，会进行严格的审查。审查的内容主要包括：

• 申请人是否为适格的权利继受人。
• 提交的材料是否真实、合法、有效。

审查结果有两种可能：

• 符合条件：如果审查通过，法院将裁定变更申请执行主体，将你列为新的申请执行人，并继续执行程序。此时，法院可能还会对原执行请求进行审查和调整，以确保你的请求合法合理。
• 不符合条件：如果不符合条件，法院将裁定驳回你的申请，并说明理由。如果你对裁定不服，可以依法申请复议或采取其他法律救济途径。

四、继续执行程序

一旦法院裁定变更申请执行主体，你就可以按照正常的执行程序要求法院采取相应的执行措施了。这些措施可能包括查询、冻结、划拨被执行人的财产，查封、扣押、拍卖被执行人的物品等，以实现生效法律文书确定的权益。在此过程中，你将享有原来申请执行人的所有权利，并承担相应的义务。

五、注意事项

• 需要注意的是，具体操作流程可能因地区和具体案件而有所不同。因此，在操作过程中，建议你咨询专业律师或法律机构以确保流程的准确性和合法性。
• 另外，作为权利继受人，你应密切关注法院的通知和裁定，及时配合法院的工作，以确保执行程序的顺利进行。

综上所述，当申请执行人作为法定代表人死亡后，其权利继受人可以通过遵循上述法律流程和提交必要材料来继续申请执行。这一过程虽然涉及多个环节，但只要你严格按照法律规定操作，就可以有效维护自身的合法权益。